Упр.4 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Приведите примеры криволинейных трапеций.
3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями, и найдите ее площадь:
а) y=sin(x), y=0, x=?/6, x=?/3;
б) y=-x^3, y=0, x=-2;
в) y=(x-1)^2, y=0, x=3;
г) y=3-2x-x^2, y=0, x=0, x=-2.
1) Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $$y=f(x)$$, отрезком $$[a;b]$$ оси абсцисс и прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$, если на этом отрезке функция не меняет знак.
Площадь такой фигуры вычисляется по формуле
$$S=\int_a^b f(x)\,dx,$$
если $$f(x)\ge 0$$ на $$[a;b]$$.
2) Примеры криволинейных трапеций показаны на рисунках: это, например, области, ограниченные графиком функции и осью $$Ox$$ на заданных промежутках.
3) Найдём площади данных криволинейных трапеций.
а)
$$S=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin x\,dx=\left(-\cos x\right)\Big|_{\pi/6}^{\pi/3}=-\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$
б)
На отрезке $$[-2;0]$$ функция $$y=-x^3$$ неотрицательна, поэтому
$$S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Big|_{-2}^{0}=0-\left(-\frac{16}{4}\right)=4.$$
в)
Так как $$y=(x-1)^2\ge 0$$, то
$$S=\int_{1}^{3}(x-1)^2\,dx=\left(\frac{(x-1)^3}{3}\right)\Big|_{1}^{3}=\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3}.$$
г)
На отрезке $$[-2;0]$$ функция $$y=3-2x-x^2$$ неотрицательна, поэтому
$$S=\int_{-2}^{0}(3-2x-x^2)\,dx=\left(3x-x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{0}.$$
$$S=0-\left(-6-4+\frac{8}{3}\right)=10-\frac{8}{3}=\frac{22}{3}.$$
Ответ
1) $$S=\int_a^b f(x)\,dx$$ при $$f(x)\ge 0$$ на $$[a;b]$$.
3) а) $$\frac{\sqrt3-1}{2}$$; б) $$4$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$\frac{22}{3}$$.
