Упр.4 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите промежутки непрерывности функции:
а) f(x)=(x^3-2x^2-5)/(4-x^2); б) f(x)=1-2tg(x);
в) f(x)=(x-4)/(x^2-3x-10); г) f(x)=x^4-3x^2+7.
3) Решите неравенство методом интервалов:
а) 4/(x+4)+1/(x+1) > 1; б) x^4-15x^2-16?0;
в) (x^2-3x-4)/(x-4)?0; г) (x-1)(x-2)(x+4)?0.

1. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка $$I$$, то её называют непрерывной на этом промежутке, а сам промежуток $$I$$ — промежутком непрерывности.

2. Найдём промежутки непрерывности функций.

   а) $$f(x)=\frac{x^3-2x^2-5}{4-x^2}$$

   Функция непрерывна при всех $$x$$, кроме тех, где знаменатель равен нулю:

   $$4-x^2\ne 0,\quad x^2\ne 4,\quad x\ne -2,\ x\ne 2.$$

   Значит, промежутки непрерывности:

   $$(-\infty;-2),\ (-2;2),\ (2;+\infty).$$

   б) $$f(x)=1-2\tg x$$

   Функция не определена при

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, промежутки непрерывности:

   $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$f(x)=\frac{x-4}{x^2-3x-10}$$

   Найдём нули знаменателя:

   $$x^2-3x-10=0,$$

   $$D=3^2+4\cdot 10=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2},\quad x_1=-2,\ x_2=5.$$

   Значит, промежутки непрерывности:

   $$(-\infty;-2),\ (-2;5),\ (5;+\infty).$$

   г) $$f(x)=x^4-3x^2+7$$

   Это многочлен, а многочлены непрерывны при всех $$x\in\mathbb R$$.

   Промежуток непрерывности:

   $$(-\infty;+\infty).$$

3. Решим неравенства методом интервалов.

   а) $$\frac{4}{x+4}+\frac{1}{x+1}>1$$

   ОДЗ: $$x\ne -4,\ x\ne -1.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4(x+1)+(x+4)-(x+4)(x+1)}{(x+4)(x+1)}>0,$$

   $$\frac{4x+4+x+4-x^2-5x-4}{(x+4)(x+1)}>0,$$

   $$\frac{4-x^2}{(x+4)(x+1)}>0,$$

   $$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x+1)}<0.$$

   По методу интервалов получаем:

   $$(-4;-2)\cup(-1;2).$$

   б) $$x^4-15x^2-16\le 0$$

   Положим $$t=x^2$$, тогда:

   $$t^2-15t-16\le 0,$$

   $$D=15^2+4\cdot 16=289,$$

   $$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{2},\quad t_1=-1,\ t_2=16.$$

   Так как $$t=x^2\ge 0$$, то

   $$0\le x^2\le 16,$$

   $$-4\le x\le 4.$$

   в) $$\frac{x^2-3x-4}{x-4}\le 0$$

   ОДЗ: $$x\ne 4.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$\frac{(x+1)(x-4)}{x-4}\le 0.$$

   При $$x\ne 4$$ получаем:

   $$x+1\le 0,$$

   то есть

   $$x\le -1.$$

   г) $$(x-1)(x-2)(x+4)\ge 0$$

   Нули выражения: $$x=-4,\ 1,\ 2.$$

   По методу интервалов:

   $$[-4;1]\cup[2;+\infty).$$

Ответ

1) Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.
2) а) $$(-\infty;-2),\ (-2;2),\ (2;+\infty)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$; в) $$(-\infty;-2),\ (-2;5),\ (5;+\infty)$$; г) $$(-\infty;+\infty)$$.
3) а) $$(-4;-2)\cup(-1;2)$$; б) $$[-4;4]$$; в) $$(-\infty;-1]$$; г) $$[-4;1]\cup[2;+\infty)$$.