Упр.4 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента.
- Упростите выражение:
а) $$(\operatorname{tg}(?)+\operatorname{ctg}(?))(1+\cos(?))(1-\cos(?))$$;
б) $$\frac{\cos^3(?)+\sin^3(?)}{\sin(?)}+\frac{\cos^3(?)-\sin^3(?)}{\cos(?)}$$;
в) $$\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2(?)}+\frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2(?)}$$;
г) $$\sin^3(?)(1+\operatorname{ctg}(?))+\cos^3(?)(1+\operatorname{tg}(?))$$. - Докажите тождество:
а) $$\frac{\cos(?)}{1-\sin(?)}=\frac{1+\sin(?)}{\cos(?)}$$;
б) $$\frac{1-(\sin(?)+\cos(?))^2}{\sin(?)\cos(?)-\operatorname{ctg}(?)}=2\operatorname{tg}^2(?)$$;
в) $$\frac{\sin(?)}{1-\cos(?)}=\frac{1+\cos(?)}{\sin(?)}$$;
г) $$\operatorname{tg}^2(?)-\sin^2(?)=\operatorname{tg}^2(?)\sin^2(?)$$.
1) Основные формулы тригонометрии:
$$\tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \qquad \ctg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$$
$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$
2) Упростим выражения.
$$(\tg \alpha + \ctg \alpha)(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)$$
$$=(\tg \alpha + \ctg \alpha)(1-\cos^2 \alpha) =(\tg \alpha + \ctg \alpha)\sin^2 \alpha$$
$$=\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)\sin^2 \alpha =\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\sin^2 \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\tg \alpha$$
$$\frac{\cos^3 \alpha+\sin^3 \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos^3 \alpha-\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$$
$$=\frac{\cos^4 \alpha+\sin^3 \alpha \cos \alpha+\cos^3 \alpha \sin \alpha-\sin^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$$
$$=\frac{(\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha)+\sin \alpha \cos \alpha(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}$$
$$=\frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} =\frac{\cos 2\alpha+\frac12 \sin 2\alpha}{\frac12 \sin 2\alpha} =2\ctg 2\alpha+1$$
$$\frac{1}{1+\tg^2 \alpha}+\frac{1}{1+\ctg^2 \alpha}$$
$$=\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1$$
$$\sin^3 \alpha(1+\ctg \alpha)+\cos^3 \alpha(1+\tg \alpha)$$
$$=\sin^3 \alpha+\sin^2 \alpha \cos \alpha+\cos^3 \alpha+\sin \alpha \cos^2 \alpha$$
$$=(\sin \alpha+\cos \alpha)(\sin^2 \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha) +\sin \alpha \cos \alpha(\sin \alpha+\cos \alpha)$$
$$=\sin \alpha+\cos \alpha$$
3) Докажем тождества.
$$\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$$
Достаточно умножить числитель и знаменатель левой части на $$1+\sin \alpha$$:
$$\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}\cdot \frac{1+\sin \alpha}{1+\sin \alpha} =\frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{1-\sin^2 \alpha} =\frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} =\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$$
$$\frac{1-(\sin \alpha+\cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha-\ctg \alpha}=2\tg^2 \alpha$$
$$1-(\sin \alpha+\cos \alpha)^2 =1-(\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha) =-2\sin \alpha \cos \alpha$$
$$\sin \alpha \cos \alpha-\ctg \alpha =\sin \alpha \cos \alpha-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\cos \alpha(\sin^2 \alpha-1)}{\sin \alpha} =-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$$
Тогда
$$\frac{-2\sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} =2\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} =2\tg^2 \alpha$$
$$\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$$
Умножим левую часть на $$\frac{1+\cos \alpha}{1+\cos \alpha}$$:
$$\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\cdot \frac{1+\cos \alpha}{1+\cos \alpha} =\frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{1-\cos^2 \alpha} =\frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} =\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$$
$$\tg^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$$
$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}-\sin^2 \alpha =\sin^2 \alpha\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}-1\right) =\sin^2 \alpha\cdot \frac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} =\sin^2 \alpha\cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} =\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$$
Ответ
1) $$\tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \ \ctg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}, \ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1, \ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
2) а) $$\tg \alpha$$; б) $$2\ctg 2\alpha+1$$; в) $$1$$; г) $$\sin \alpha+\cos \alpha$$.
3) Все тождества верны.
