Упр.4 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите число делителей числа $$n$$, если:

а) $$n=1024$$;

б) $$n=210$$;

в) $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$$ ($$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k$$ — натуральные, $$p_1,p_2,\dots,p_k$$ — различные простые числа);

г) $$n=10!$$ (если $$k!$$ — обозначение произведения $$1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot k$$).

Число делителей натурального числа, разложенного на простые множители в виде $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},$$ равно

$$N=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

1. $$1024=2^{10}.$$

   Тогда число делителей:

   $$N=10+1=11.$$

2. $$210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7.$$

   Все показатели равны $$1$$, значит

   $$N=(1+1)^4=16.$$

3. Если

   $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},$$

   то число делителей равно

   $$N=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

4. Разложим $$10!$$ на простые множители:

   $$10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$$

   Тогда число делителей:

   $$N=(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)=9\cdot 5\cdot 3\cdot 2=270.$$

Ответ: а) $$11$$; б) $$16$$; в) $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$$; г) $$270$$.