Упр.4 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 4. Докажите, что число 10^56-1 делится на 3 и 11.

Обозначим $$a=10^{56}-1.$$

Тогда

$$10^{56}=1\underbrace{00\ldots 0}_{56\text{ нулей}},$$

значит

$$a=1\underbrace{00\ldots 0}_{56\text{ нулей}}-1=\underbrace{99\ldots 9}_{56\text{ девяток}}.$$

Проверим делимость на $$3$$ и на $$11$$.

Сумма цифр числа $$\underbrace{99\ldots 9}_{56}$$ равна

$$9\cdot 56=504,$$

а число $$504$$ делится на $$3$$, значит, $$a$$ делится на $$3$$.

Для делимости на $$11$$ рассмотрим разность суммы цифр, стоящих на нечётных и чётных местах:

$$9-9+9-9+\cdots+9-9=0.$$

Так как полученная разность делится на $$11$$, то число $$a$$ делится на $$11$$.

Следовательно, число $$10^{56}-1$$ делится и на $$3$$, и на $$11$$.

Ответ

$$10^{56}-1$$ делится на $$3$$ и на $$11$$.