Упр.39 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Найдите log(54; 168), если log(7; 12)=a, log(12; 24)=b.

а) Пусть $$\log_x u=a,$$ $$\log_y u=b,$$ $$\log_z u=c.$$ Тогда

$$\log_u x=\frac1a,\qquad \log_u y=\frac1b,\qquad \log_u z=\frac1c.$$

Следовательно,

$$\log_u(xyz)=\log_u x+\log_u y+\log_u z=\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{ab+ac+bc}{abc}.$$

Тогда

$$\log_{xyz}u=\frac{1}{\log_u(xyz)}=\frac{abc}{ab+ac+bc}.$$

б) Обозначим

$$\log_7 12=a,\qquad \log_{12}24=b.$$

Найдём сначала логарифмы чисел $$2$$ и $$3$$ по основанию $$12$$.

$$b=\log_{12}24=\log_{12}(2\cdot 12)=1+\log_{12}2,$$

значит

$$\log_{12}2=b-1.$$

Также

$$b=\log_{12}24=\log_{12}(3\cdot 8)=3\log_{12}2+\log_{12}3,$$

откуда

$$\log_{12}3=b-3(b-1)=3-2b.$$

Теперь выразим $$\log_7 2$$ и $$\log_7 3$$.

$$a=\log_7 12=\log_7(3\cdot 4)=\log_7 3+2\log_7 2,$$

$$\log_7 24=\log_7(3\cdot 8)=\log_7 3+3\log_7 2.$$

Кроме того,

$$\log_7 24=\log_7(2\cdot 12)=\log_7 2+\log_7 12=\log_7 2+a.$$

Из системы получаем

$$\log_7 2=ab-a,\qquad \log_7 3=3a-2ab.$$

Теперь найдём

$$\log_{54}168=\log_{54}(2^3\cdot 3\cdot 7)=3\log_{54}2+\log_{54}3+\log_{54}7.$$

Переходим к основанию $$12$$ и используем найденные значения:

$$\log_{54}168=\frac{1}{\log_{12}54}\cdot \log_{12}168.$$

Удобнее записать через разложение:

$$54=2\cdot 3^3,\qquad 168=2^3\cdot 3\cdot 7.$$

Тогда после подстановки и упрощения получаем

$$\log_{54}168=\frac{ab+1}{a(8-5b)}.$$

Ответ

а) $$\frac{abc}{ab+ac+bc}$$;
б) $$\frac{ab+1}{a(8-5b)}$$.