Упр.380 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Центр масс однородного прямого кругового конуса лежит на его оси $$OA$$. Обозначим через $$x$$ расстояние от вершины конуса до центра масс, а через $$h$$ — высоту конуса, через $$r$$ — радиус основания.

На расстоянии $$x$$ от вершины радиус сечения равен $$y$$. Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{x}{h}=\frac{y}{r}, \qquad y=\frac{r}{h}x.$$

Тогда элемент объёма тонкого слоя:

$$dV\approx \pi y^2\,dx=\pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx.$$

Координата центра масс равна

$$x=\frac{\int_0^h \rho x\,dV}{\int_0^h \rho\,dV} =\frac{\int_0^h \rho x\cdot \pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx}{\int_0^h \rho \cdot \pi \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx} =\frac{\int_0^h x^3\,dx}{\int_0^h x^2\,dx}.$$

Вычислим интегралы:

$$x=\frac{\left.\dfrac{x^4}{4}\right|_0^h}{\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^h} =\frac{h^4/4}{h^3/3} =\frac{3}{4}h.$$

Следовательно, центр масс конуса находится на его оси на расстоянии $$\frac{3}{4}h$$ от вершины, то есть на расстоянии $$\frac{1}{4}h$$ от основания.

Ответ: $$\frac{3}{4}h$$ от вершины конуса.