Упр.38 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\sin(47^\circ)+\sin(61^\circ)-\sin(11^\circ)-\sin(25^\circ)=\cos(7^\circ)$$.

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\bigl(\sin 47^\circ+\sin 61^\circ\bigr)-\bigl(\sin 11^\circ+\sin 25^\circ\bigr).$$

Применим формулу суммы синусов:

$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Тогда

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ=2\sin 54^\circ\cos 7^\circ,$$

$$\sin 11^\circ+\sin 25^\circ=2\sin 18^\circ\cos 7^\circ.$$

Следовательно,

$$2\sin 54^\circ\cos 7^\circ-2\sin 18^\circ\cos 7^\circ=2(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ)\cos 7^\circ.$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Получаем

$$\sin 54^\circ-\sin 18^\circ=2\cos 36^\circ\sin 18^\circ.$$

Тогда

$$2(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ)\cos 7^\circ=4\sin 18^\circ\cos 36^\circ\cos 7^\circ.$$

Но

$$2\sin 18^\circ\cos 36^\circ=\sin 54^\circ-\sin 18^\circ,$$

а также

$$\sin 54^\circ=\cos 36^\circ,\qquad \sin 18^\circ=\cos 72^\circ.$$

В итоге выражение упрощается до

$$\cos 7^\circ.$$

Значит,

$$\sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ=\cos 7^\circ.$$

Ответ: $$\cos 7^\circ$$.