Упр.372 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Введём ось, перпендикулярную сечению шара, с началом в центре шара. Тогда площадь сечения на расстоянии $$x$$ от центра равна

$$S(x)=\pi r^2,$$

где по теореме Пифагора

$$r^2=R^2-x^2.$$

Значит,

$$S(x)=\pi(R^2-x^2).$$

Объём шарового сегмента высоты $$H$$:

$$V=\pi\int\limits_{R-H}^{R}(R^2-x^2)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$ V=\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{R-H}^{R} $$

$$ =\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}-\left(R^2(R-H)-\frac{(R-H)^3}{3}\right)\right) $$

$$ =\pi\left(RH^2-\frac{H^3}{3}\right) =\frac{\pi H^2}{3}(3R-H). $$

б) Пусть $$|OD|=x$$, тогда радиус сечения усечённого конуса равен

$$y=\frac{R}{H}(H-x).$$

Следовательно, площадь сечения

$$S(x)=\pi y^2=\pi\frac{R^2}{H^2}(H-x)^2.$$

Высота усечённого конуса равна $$H$$, а пределы интегрирования для данного тела: $$0\le x\le \frac{H(R-r)}{R}.$$ Тогда

$$ V=\int\limits_{0}^{\frac{H(R-r)}{R}} \pi\frac{R^2}{H^2}(H-x)^2\,dx. $$

Раскроем квадрат и проинтегрируем:

$$ V=\pi\frac{R^2}{H^2}\int\limits_{0}^{\frac{H(R-r)}{R}}(H^2-2Hx+x^2)\,dx $$

$$ =\pi\frac{R^2}{H^2}\left(H^2x-Hx^2+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{\frac{H(R-r)}{R}} $$

$$ =\frac{\pi H}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right). $$

Ответ

а) $$V=\frac{\pi H^2}{3}(3R-H).$$

б) $$V=\frac{\pi H}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right).$$