Упр.371 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$y=x^2,\; y=x.$$
Точки пересечения: $$x^2=x \Rightarrow x(x-1)=0,$$ значит, $$x=0$$ и $$x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится график $$y=x,$$ снизу — $$y=x^2.$$ Тогда
$$ V=\pi \int_0^1 \bigl(x^2-(x^2)^2\bigr)\,dx =\pi \int_0^1 (x^2-x^4)\,dx =\pi \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1 =\pi\left(\frac13-\frac15\right) =\frac{2\pi}{15}. $$
б) $$y=2x,\; y=x+3,\; x=0,\; x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится $$y=x+3,$$ снизу — $$y=2x.$$ Тогда
$$ V=\pi \int_0^1 \bigl((x+3)^2-(2x)^2\bigr)\,dx =\pi \int_0^1 (x^2+6x+9-4x^2)\,dx $$
$$ =\pi \int_0^1 (6x+9-3x^2)\,dx =\pi \left(3x^2+9x-x^3\right)\Bigg|_0^1 =\pi(3+9-1)=11\pi. $$
в) $$y=x+2,\; y=1,\; x=0,\; x=2.$$
На отрезке $$[0;2]$$ сверху находится $$y=x+2,$$ снизу — $$y=1.$$ Тогда
$$ V=\pi \int_0^2 \bigl((x+2)^2-1^2\bigr)\,dx =\pi \int_0^2 (x^2+4x+3)\,dx $$
$$ =\pi \left(\frac{x^3}{3}+2x^2+3x\right)\Bigg|_0^2 =\pi\left(\frac{8}{3}+8+6\right) =\frac{50\pi}{3}. $$
г) $$y=\sqrt{x},\; y=x.$$
Точки пересечения: $$\sqrt{x}=x \Rightarrow x=x^2 \Rightarrow x(x-1)=0,$$ значит, $$x=0$$ и $$x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится $$y=\sqrt{x},$$ снизу — $$y=x.$$ Тогда
$$ V=\pi \int_0^1 \bigl((\sqrt{x})^2-x^2\bigr)\,dx =\pi \int_0^1 (x-x^2)\,dx =\pi \left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =\pi\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{\pi}{6}. $$
Ответ
а) $$\frac{2\pi}{15}$$; б) $$11\pi$$; в) $$\frac{50\pi}{3}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.
