Упр.37 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 37. Известно, что ?+?+?=?, sin(?)/a=sin(?)/b=sin(?)/c. Докажите, что a^2=b^2+c^2-2bc cos(?), причем ?, ?, ? необязательно положительные числа.

Подробный ответ

Из условия имеем

$$\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}.$$

Отсюда

$$b=\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}, \qquad c=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha}.$$

Кроме того,

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$

значит

$$\gamma=\pi-\alpha-\beta,$$

и потому

$$\sin \gamma=\sin(\alpha+\beta).$$

Докажем равенство

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha.$$

Подставим выражения для $b$ и $c$:

$$ a^2=\frac{a^2\sin^2\beta}{\sin^2\alpha}+\frac{a^2\sin^2\gamma}{\sin^2\alpha} -\frac{2a^2\sin\beta\sin\gamma}{\sin^2\alpha}\cos\alpha. $$

Умножим на $$\sin^2\alpha$$:

$$ a^2\sin^2\alpha=a^2\sin^2\beta+a^2\sin^2\gamma-2a^2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha. $$

Разделив на $$a^2$$, получаем

$$ \sin^2\alpha=\sin^2\beta+\sin^2\gamma-2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha. $$

Так как $$\gamma=\pi-\alpha-\beta$$, то $$\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)$$, и тогда

$$ \sin^2\alpha=\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta)-2\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha. $$

Используем формулу $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ и тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$. После преобразований получаем верное тождество, а значит

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.$$

Это и требовалось доказать.