Упр.37 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна $$14$$, а сумма средних — $$12$$.

Обозначим искомые числа через $$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4.$$

По условию:

$$a_1+a_4=14,\qquad a_2+a_3=12.$$

Так как первые три числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$a_2^2=a_1a_3.$$

Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме крайних:

$$2a_3=a_2+a_4.$$

Из системы
$$\begin{cases} a_1+a_4=14,\\ a_2+a_3=12,\\ 2a_3=a_2+a_4 \end{cases}$$
получаем
$$a_4=2a_3-a_2,$$
тогда
$$a_1=14-a_4=14-2a_3+a_2.$$

Подставим в условие геометрической прогрессии:

$$a_2^2=(14-2a_3+a_2)a_3.$$

Но из $$a_2+a_3=12$$ имеем $$a_2=12-a_3$$. Тогда

$$(12-a_3)^2=(14-2a_3+12-a_3)a_3=(26-3a_3)a_3.$$

Раскроем скобки:

$$144-24a_3+a_3^2=26a_3-3a_3^2,$$

$$4a_3^2-50a_3+144=0,$$

$$2a_3^2-25a_3+72=0.$$

Дискриминант:

$$D=25^2-4\cdot 2\cdot 72=625-576=49.$$

Тогда

$$a_3=\frac{25\pm 7}{4},$$
откуда
$$a_3=8 \quad \text{или} \quad a_3=\frac92.$$

1) Если $$a_3=8,$$ то

$$a_2=12-8=4,\qquad a_4=2\cdot 8-4=12,\qquad a_1=14-12=2.$$

Получаем числа $$2,\ 4,\ 8,\ 12.$$

2) Если $$a_3=\frac92,$$ то

$$a_2=12-\frac92=\frac{15}{2},\qquad a_4=2\cdot \frac92-\frac{15}{2}=\frac32,\qquad a_1=14-\frac32=\frac{25}{2}.$$

Получаем числа $$\frac{25}{2},\ \frac{15}{2},\ \frac92,\ \frac32.$$

Ответ: $$2,\ 4,\ 8,\ 12$$ или $$\frac{25}{2},\ \frac{15}{2},\ \frac92,\ \frac32.$$