Упр.37 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 37. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12.

Обозначим четыре числа через $$a_1, a_2, a_3, a_4.$$ По условию:

$$a_1+a_4=14,\qquad a_2+a_3=12.$$

Так как первые три числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$a_2^2=a_1a_3.$$

Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то

$$2a_3=a_2+a_4.$$

Из второго равенства получаем

$$a_4=2a_3-a_2.$$

Тогда из $$a_1+a_4=14$$ имеем

$$a_1=14-a_4=14-(2a_3-a_2)=14-2a_3+a_2.$$

Но из $$a_2+a_3=12$$ следует $$a_2=12-a_3,$$ значит

$$a_1=14-2a_3+12-a_3=26-3a_3.$$

Подставим в условие геометрической прогрессии:

$$a_2^2=a_1a_3$$

$$\left(12-a_3\right)^2=\left(26-3a_3\right)a_3.$$

Раскроем скобки:

$$144-24a_3+a_3^2=26a_3-3a_3^2$$

$$4a_3^2-50a_3+144=0$$

$$2a_3^2-25a_3+72=0.$$

Найдём корни:

$$D=25^2-4\cdot 2\cdot 72=625-576=49,$$

$$a_3=\frac{25\pm 7}{4}.$$

Отсюда

$$a_3=8 \quad \text{или} \quad a_3=\frac{9}{2}.$$

1) Если $$a_3=8,$$ то

$$a_2=12-8=4,\qquad a_4=2\cdot 8-4=12,\qquad a_1=14-12=2.$$

Получаем числа $$2,\ 4,\ 8,\ 12.$$

2) Если $$a_3=\frac{9}{2},$$ то

$$a_2=12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2},\qquad a_4=2\cdot \frac{9}{2}-\frac{15}{2}=\frac{3}{2},$$

$$a_1=14-\frac{3}{2}=\frac{25}{2}.$$

Получаем числа $$\frac{25}{2},\ \frac{15}{2},\ \frac{9}{2},\ \frac{3}{2}.$$

Ответ

$$2,\ 4,\ 8,\ 12$$ или $$\frac{25}{2},\ \frac{15}{2},\ \frac{9}{2},\ \frac{3}{2}.$$