Упр.37 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$?+?+?=?$$, $$\frac{\sin(?)}{a}=\frac{\sin(?)}{b}=\frac{\sin(?)}{c}$$. Докажите, что $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(?)$$, причем $$?$$, $$?$$, $$?$$ необязательно положительные числа.

Из равенства

$$\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}$$

получаем

$$b=\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}, \qquad c=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha}.$$

Тогда

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$$

равносильно

$$a^2=\frac{a^2\sin^2\beta}{\sin^2\alpha}+\frac{a^2\sin^2\gamma}{\sin^2\alpha}-\frac{2a^2\sin\beta\sin\gamma}{\sin^2\alpha}\cos\alpha,$$

то есть

$$\sin^2\alpha=\sin^2\beta+\sin^2\gamma-2\sin\beta\sin\gamma\cos\alpha.$$

Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ то $$\gamma=\pi-\alpha-\beta,$$ и потому

$$\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta), \qquad \cos\alpha=-\cos(\alpha+\beta+\gamma).$$

Используем формулы приведения и преобразования произведения:

$$\sin^2\alpha=\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta)-2\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha.$$

После раскрытия по формулам

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

и

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

получаем тождество, которое сводится к нулю. Следовательно,

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha.$$