Упр.369 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$F(x)$$ и $$G(x)$$ — первообразные для функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$ на промежутке $$[a;b]$$.

а)

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = \bigl(F(x)+G(x)\bigr)\Big|_a^b = \bigl(F(b)+G(b)\bigr)-\bigl(F(a)+G(a)\bigr)$$
$$= \bigl(F(b)-F(a)\bigr)+\bigl(G(b)-G(a)\bigr) = \int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx.$$

б)

Если $$k$$ — постоянная, то первообразной для функции $$kf(x)$$ является функция $$kF(x)$$. Тогда
$$\int_a^b kf(x)\,dx = \bigl(kF(x)\bigr)\Big|_a^b = kF(b)-kF(a) = k\bigl(F(b)-F(a)\bigr) = k\int_a^b f(x)\,dx.$$

Ответ

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx,$$
$$\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx.$$