Упр.369 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть $$F(x)$$ и $$G(x)$$ — первообразные для функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$.

Тогда по формуле Ньютона — Лейбница

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a), \qquad \int_a^b g(x)\,dx = G(b)-G(a).$$

Рассмотрим сумму:

$$ \int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = (F(x)+G(x))\Big|_a^b = F(b)+G(b)-F(a)-G(a). $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ F(b)-F(a)+G(b)-G(a) = \int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx. $$

Значит,

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx.$$

Теперь докажем второе равенство. Пусть $$k$$ — постоянная, а $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

Тогда первообразной для $$kf(x)$$ будет $$kF(x)$$, поэтому

$$ \int_a^b kf(x)\,dx = (kF(x))\Big|_a^b = kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a)). $$

Но $$F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\,dx$$, следовательно

$$\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx.$$

Ответ

$$\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx,$$

$$\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx.$$