Упр.367 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Вершина параболы $$y=8x-2x^2$$ находится в точке

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2,$$

$$y_0=8\cdot2-2\cdot2^2=16-8=8.$$

Значит, точка касания с касательной в вершине — $$A(2;8)$$. Так как в вершине параболы касательная горизонтальна, её уравнение:

$$y=8.$$

Искомая фигура ограничена прямыми $$x=0$$, $$y=8$$ и параболой $$y=8x-2x^2$$ на отрезке $$0\le x\le 2$$. Тогда её площадь равна

$$S=\int\limits_0^2 \bigl(8-(8x-2x^2)\bigr)\,dx=\int\limits_0^2 (8-8x+2x^2)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(8x-4x^2+\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2 = \left(16-16+\frac{16}{3}\right)-0 =\frac{16}{3}.$$

Ответ: $$\frac{16}{3}$$.