Упр.366 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) $$y=x^2-4x+4=(x-2)^2,\quad y=4-x^2.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2-4x+4=4-x^2$$
$$2x^2-4x=0$$
$$2x(x-2)=0$$
$$x=0,\quad x=2.$$
На отрезке $$[0;2]$$ верхняя функция $$y=4-x^2$$, нижняя $$y=x^2-4x+4$$.
Тогда
$$ S=\int\limits_0^2 \bigl((4-x^2)-(x^2-4x+4)\bigr)\,dx =\int\limits_0^2 (-2x^2+4x)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{2x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^2 =-\frac{16}{3}+8 =\frac{8}{3}. $$
б) $$y=x^2-2x+2,\quad y=2+6x-x^2.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2-2x+2=2+6x-x^2$$
$$2x^2-8x=0$$
$$2x(x-4)=0$$
$$x=0,\quad x=4.$$
На отрезке $$[0;4]$$ верхняя функция $$y=2+6x-x^2$$, нижняя $$y=x^2-2x+2$$.
Тогда
$$ S=\int\limits_0^4 \bigl((2+6x-x^2)-(x^2-2x+2)\bigr)\,dx =\int\limits_0^4 (8x-2x^2)\,dx $$
$$ S=\left(4x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^4 =64-\frac{128}{3} =\frac{64}{3}. $$
в) $$y=x^2,\quad y=2x-x^2.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2=2x-x^2$$
$$2x^2-2x=0$$
$$2x(x-1)=0$$
$$x=0,\quad x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция $$y=2x-x^2$$, нижняя $$y=x^2$$.
Тогда
$$ S=\int\limits_0^1 \bigl((2x-x^2)-x^2\bigr)\,dx =\int\limits_0^1 (2x-2x^2)\,dx $$
$$ S=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac{2}{3} =\frac{1}{3}. $$
г) $$y=x^2,\quad y=x^3.$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2=x^3$$
$$x^2(1-x)=0$$
$$x=0,\quad x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция $$y=x^2$$, нижняя $$y=x^3$$.
Тогда
$$ S=\int\limits_0^1 (x^2-x^3)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^1 =\frac{1}{3}-\frac{1}{4} =\frac{1}{12}. $$