Упр.363 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Преобразуем подынтегральное выражение:

   $$\left(\sin \frac{x}{4}+\cos \frac{x}{4}\right)^2=\sin^2 \frac{x}{4}+2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}+\cos^2 \frac{x}{4}=1+\sin \frac{x}{2}.$$

   Тогда

   $$\int\limits_0^{\frac{2\pi}{3}}\left(\sin \frac{x}{4}+\cos \frac{x}{4}\right)^2dx=\int\limits_0^{\frac{2\pi}{3}}\left(1+\sin \frac{x}{2}\right)dx.$$

   Найдём первообразную:

   $$\int \left(1+\sin \frac{x}{2}\right)dx=x-2\cos \frac{x}{2}.$$

   Тогда

   $$\left(x-2\cos \frac{x}{2}\right)\Bigg|_0^{\frac{2\pi}{3}}=\left(\frac{2\pi}{3}-2\cos \frac{\pi}{3}\right)-\left(0-2\cos 0\right)=\frac{2\pi}{3}+1.$$

2. б)

   $$\int\limits_0^2 (1+2x)^3dx=\frac{(1+2x)^4}{8}\Bigg|_0^2=\frac{5^4-1^4}{8}=\frac{625-1}{8}=78.$$

3. в)

   $$\int\limits_0^{\frac{\pi}{12}}(1+\cos 2x)\,dx=\left(x+\frac12\sin 2x\right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{12}}=\frac{\pi}{12}+\frac12\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}+\frac14.$$

4. г)

   $$\int\limits_1^4 \left(x+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)dx=\int\limits_1^4 \left(x+x^{-1/2}\right)dx.$$

   Первообразная:

   $$\int \left(x+x^{-1/2}\right)dx=\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}\right)\Bigg|_1^4=\left(\frac{16}{2}+2\cdot 2\right)-\left(\frac12+2\right)=8+4-\frac52=\frac{19}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{2\pi}{3}+1$$; б) $$78$$; в) $$\frac{\pi}{12}+\frac14$$; г) $$\frac{19}{2}$$.