Упр.36 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: З6. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый ее член равен 1/54, а сумма всех членов 121/162. Сколько членов в этой прогрессии?

Дано: $$q=\frac13,\quad b_4=\frac1{54},\quad S_n=\frac{121}{162}.$$

Найдём первый член прогрессии:

$$b_4=b_1q^3,$$

$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac1{54}}{\left(\frac13\right)^3}=\frac{\frac1{54}}{\frac1{27}}=\frac12.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{121}{162}=\frac{\frac12\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)}{1-\frac13}.$$

Упростим:

$$\frac{121}{162}=\frac{\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right)}{\frac23}=\frac34\left(1-\frac1{3^n}\right).$$

Тогда

$$1-\frac1{3^n}=\frac{121}{162}\cdot\frac43=\frac{242}{243},$$

$$\frac1{3^n}=\frac1{243}.$$

Следовательно,

$$3^n=243=3^5,$$

откуда

$$n=5.$$

Ответ

5