Упр.36 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверьте, что число $$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$ является корнем уравнения $$\arctg(x)=\frac{\pi}{12}$$.

Проверим, что при $$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$ выполняется $$\operatorname{arctg} x_0=\frac{\pi}{12}.$$

Найдём значение $$\tg \frac{\pi}{12}$$ по формуле

$$\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}, \quad \alpha=\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\tg \frac{\pi}{12} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{1+\cos \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac12}{1+\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{1}{2+\sqrt3} = \frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} = 2-\sqrt3.$$

Теперь преобразуем $$x_0$$:

$$x_0=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} = \frac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} = \frac{3-2\sqrt3+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt3}{2} = 2-\sqrt3.$$

Следовательно,

$$x_0=\tg \frac{\pi}{12},$$

а значит,

$$\operatorname{arctg} x_0=\frac{\pi}{12}.$$

Ответ

$$x_0$$ является корнем уравнения.