Упр.359 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

В каждом пункте вычислим оба определённых интеграла и сравним результаты.

1. $$\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx=\tg x\Big|_0^{\pi/4}=\tg\frac{\pi}{4}-\tg 0=1,$$
   $$\int_0^1 dx=x\Big|_0^1=1.$$
   Следовательно,
   $$\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\int_0^1 dx.$$

2. $$\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\pi/3}=-\cos\frac{\pi}{3}+\cos 0=-\frac12+1=\frac12,$$
   $$\int_{1/16}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{1/16}^{1/4}x^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x}\Big|_{1/16}^{1/4}=2\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12.$$
   Значит,
   $$\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx=\int_{1/16}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x}}.$$

3. $$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1,$$
   $$\int_0^{\sqrt[3]{3}}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^{\sqrt[3]{3}}=\frac{(\sqrt[3]{3})^3}{3}-0=\frac33=1.$$
   Следовательно,
   $$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\int_0^{\sqrt[3]{3}}x^2\,dx.$$

4. $$\int_0^1(2x+1)\,dx=(x^2+x)\Big|_0^1=(1^2+1)-(0^2+0)=2,$$
   $$\int_0^2(x^3-1)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}-x\right)\Big|_0^2=\left(\frac{2^4}{4}-2\right)-\left(\frac{0^4}{4}-0\right)=4-2=2.$$
   Значит,
   $$\int_0^1(2x+1)\,dx=\int_0^2(x^3-1)\,dx.$$

Ответ

Во всех пунктах равенства верны.