Упр.358 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём первообразную:

$$\int \frac{dx}{(2x+1)^2}=\int (2x+1)^{-2}\,dx=-\frac{1}{2(2x+1)}+C.$$

Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

$$\int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}=-\frac{1}{2(2\cdot 2+1)}+\frac{1}{2(2\cdot 1+1)}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}=\frac{1}{15}.$$

б) Найдём первообразную:

$$\int 3\cos \frac{x}{2}\,dx=6\sin \frac{x}{2}+C.$$

Тогда

$$\int_0^\pi 3\cos \frac{x}{2}\,dx=6\sin \frac{\pi}{2}-6\sin 0=6.$$

в) Найдём первообразную:

$$\int \frac{dx}{x^2}=\int x^{-2}\,dx=-\frac{1}{x}+C.$$

Тогда

$$\int_1^{10}\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{10}-\left(-1\right)=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}.$$

г) Найдём первообразную:

$$\int \sin 2x\,dx=-\frac{\cos 2x}{2}+C.$$

Тогда

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx=-\frac{\cos \pi}{2}+\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{15}$$; б) $$6$$; в) $$\frac{9}{10}$$; г) $$\frac{1}{2}$$.