Упр.355 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём первообразную для функции $$y=(x+2)^2.$$

$$F(x)=\frac{(x+2)^3}{3}.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=F(0)-F(-2)=\frac{(0+2)^3}{3}-\frac{(-2+2)^3}{3}=\frac{8}{3}.$$

б) Для функции $$y=\frac{1}{(x+1)^2}+1$$ найдём первообразную:

$$F(x)=-\frac{1}{x+1}+x.$$

Тогда

$$S=F(2)-F(0)=\left(-\frac{1}{2+1}+2\right)-\left(-\frac{1}{0+1}+0\right)=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}.$$

в) Точки пересечения графика $$y=2x-x^2$$ с осью абсцисс найдём из уравнения

$$2x-x^2=0,$$

откуда $$x=0$$ и $$x=2.$$

Первообразная:

$$F(x)=x^2-\frac{x^3}{3}.$$

Площадь фигуры:

$$S=F(2)-F(0)=\left(2^2-\frac{2^3}{3}\right)-\left(0^2-\frac{0^3}{3}\right)=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.$$

г) Для функции $$y=-(x-1)^3$$ найдём первообразную:

$$F(x)=-\frac{(x-1)^4}{4}.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=F(1)-F(0)=\left(-\frac{(1-1)^4}{4}\right)-\left(-\frac{(0-1)^4}{4}\right)=\frac{1}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{8}{3}$$; б) $$\frac{8}{3}$$; в) $$\frac{4}{3}$$; г) $$\frac{1}{4}$$.