Упр.354 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём первообразную для функции $$y=x^3+1$$:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}+x.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=F(2)-F(0)=\left(\frac{2^4}{4}+2\right)-\left(\frac{0^4}{4}+0\right)=4+2=6.$$

б) Найдём первообразную для функции $$y=1+2\sin x$$:

$$F(x)=x-2\cos x.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=\left(\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(0-2\cos 0\right)=\frac{\pi}{2}+2.$$

в) Точки пересечения параболы $$y=4-x^2$$ с осью $$Ox$$ найдём из уравнения

$$4-x^2=0,$$

откуда

$$x=\pm 2.$$

Первообразная:

$$F(x)=4x-\frac{x^3}{3}.$$

Площадь фигуры:

$$S=F(2)-F(-2)=\left(4\cdot 2-\frac{2^3}{3}\right)-\left(4\cdot(-2)-\frac{(-2)^3}{3}\right)=\frac{32}{3}.$$

г) Найдём первообразную для функции $$y=1+\frac12\cos x$$:

$$F(x)=x+\frac12\sin x.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\pi+1.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$\frac{\pi}{2}+2$$; в) $$\frac{32}{3}$$; г) $$\pi+1$$.