Упр.347 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём первообразную для каждой функции и используем условие прохождения графика через точку $$M(x_0;y_0)$$, чтобы определить постоянную $$c$$.

1. $$f(x)=2x+1,\quad M(0;0).$$

   $$F(x)=\int (2x+1)\,dx=x^2+x+c.$$

   Подставим точку $$M(0;0)$$:

   $$0=0^2+0+c,\quad c=0.$$

   Значит,

   $$F(x)=x^2+x.$$

2. $$f(x)=3x^2-2x,\quad M(1;4).$$

   $$F(x)=\int (3x^2-2x)\,dx=x^3-x^2+c.$$

   Подставим точку $$M(1;4)$$:

   $$4=1^3-1^2+c,\quad 4=0+c,\quad c=4.$$

   Значит,

   $$F(x)=x^3-x^2+4.$$

3. $$f(x)=x+2,\quad M(1;3).$$

   $$F(x)=\int (x+2)\,dx=\frac{x^2}{2}+2x+c.$$

   Подставим точку $$M(1;3)$$:

   $$3=\frac{1^2}{2}+2\cdot 1+c,\quad 3=\frac12+2+c,\quad c=\frac12.$$

   Значит,

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\frac12.$$

4. $$f(x)=-x^2+3x,\quad M(2;-1).$$

   $$F(x)=\int (-x^2+3x)\,dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+c.$$

   Подставим точку $$M(2;-1)$$:

   $$-1=-\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot 2^2}{2}+c=-\frac83+6+c=\frac{10}{3}+c.$$

   Отсюда

   $$c=-1-\frac{10}{3}=-\frac{13}{3}.$$

   Значит,

   $$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}.$$

Ответ: а) $$F(x)=x^2+x$$; б) $$F(x)=x^3-x^2+4$$; в) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\frac12$$; г) $$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}$$.