Упр.343 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём общие виды первообразных для каждой функции.

1. $$f(x)=(2x-3)^5$$

   Пусть $$u=2x-3$$, тогда $$du=2\,dx$$ и

   $$\int (2x-3)^5\,dx=\frac{1}{2}\int u^5\,du=\frac{u^6}{12}+C.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{(2x-3)^6}{12}+C.$$

2. $$f(x)=3\sin 2x$$

   Так как $$\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x,$$ то

   $$F(x)=3\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+C=-\frac{3}{2}\cos 2x+C.$$

3. $$f(x)=(4-5x)^7$$

   Пусть $$u=4-5x$$, тогда $$du=-5\,dx$$ и

   $$\int (4-5x)^7\,dx=-\frac{1}{5}\int u^7\,du=-\frac{u^8}{40}+C.$$

   Значит,

   $$F(x)=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C.$$

4. $$f(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Так как

   $$\int \cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\,dx=3\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right),$$

   то

   $$F(x)=-\frac{1}{3}\cdot 3\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C=-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C.$$

Ответ:

$$F(x)=\frac{(2x-3)^6}{12}+C,\quad F(x)=-\frac{3}{2}\cos 2x+C,\quad F(x)=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C,\quad F(x)=-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C.$$