Упр.341 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем связи между ускорением, скоростью и координатой:

$$v'(t)=a(t), \qquad x'(t)=v(t).$$

1. $$a(t)=-2t,\quad t_0=1,\quad x_0=4,\quad v_0=2.$$

   $$v(t)=\int -2t\,dt=-t^2+c_1.$$

   Из условия $$v(1)=2$$ получаем:

   $$2=-1+c_1,\quad c_1=3.$$

   Значит,

   $$v(t)=-t^2+3.$$

   Теперь найдём координату:

   $$x(t)=\int (-t^2+3)\,dt=-\frac{t^3}{3}+3t+c_2.$$

   Из условия $$x(1)=4$$:

   $$4=-\frac13+3+c_2,\quad c_2=\frac43.$$

   Итак,

   $$x(t)=-\frac{t^3}{3}+3t+\frac43.$$

2. $$a(t)=\sin t,\quad t_0=\frac{\pi}{2},\quad x_0=2,\quad v_0=1.$$

   $$v(t)=\int \sin t\,dt=-\cos t+c_1.$$

   Из условия $$v\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$:

   $$1=-\cos\frac{\pi}{2}+c_1,\quad c_1=1.$$

   Следовательно,

   $$v(t)=-\cos t+1.$$

   Тогда

   $$x(t)=\int (-\cos t+1)\,dt=-\sin t+t+c_2.$$

   Из условия $$x\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$$:

   $$2=-\sin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+c_2,\quad c_2=3-\frac{\pi}{2}.$$

   Значит,

   $$x(t)=-\sin t+t+3-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$a(t)=6t,\quad t_0=0,\quad x_0=3,\quad v_0=1.$$

   $$v(t)=\int 6t\,dt=3t^2+c_1.$$

   Из условия $$v(0)=1$$ получаем:

   $$1=c_1.$$

   Следовательно,

   $$v(t)=3t^2+1.$$

   Теперь

   $$x(t)=\int (3t^2+1)\,dt=t^3+t+c_2.$$

   Из условия $$x(0)=3$$:

   $$c_2=3.$$

   Итак,

   $$x(t)=t^3+t+3.$$

4. $$a(t)=\cos t,\quad t_0=\pi,\quad x_0=1,\quad v_0=0.$$

   $$v(t)=\int \cos t\,dt=\sin t+c_1.$$

   Из условия $$v(\pi)=0$$:

   $$0=\sin \pi+c_1,\quad c_1=0.$$

   Значит,

   $$v(t)=\sin t.$$

   Тогда

   $$x(t)=\int \sin t\,dt=-\cos t+c_2.$$

   Из условия $$x(\pi)=1$$:

   $$1=-\cos \pi+c_2=1+c_2,\quad c_2=0.$$

   Следовательно,

   $$x(t)=-\cos t.$$

Ответ

а) $$x(t)=-\frac{t^3}{3}+3t+\frac43$$;

б) $$x(t)=-\sin t+t+3-\frac{\pi}{2}$$;

в) $$x(t)=t^3+t+3$$;

г) $$x(t)=-\cos t$$.