Упр.340 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для каждой функции найдём одну первообразную и затем запишем две первообразные, отличающиеся на заданное число $$\alpha$$.

1. $$f(x)=2-\sin x,\quad \alpha=4.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\int (2-\sin x)\,dx=2x+\cos x+C.$$

   Возьмём, например, две первообразные, отличающиеся на $$4$$:

   $$F_1(x)=2x+\cos x,\qquad F_2(x)=2x+\cos x+4.$$

2. $$f(x)=1+\tg^2 x,\quad \alpha=1.$$

   Так как $$1+\tg^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x},$$ то

   $$F(x)=\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C.$$

   Подойдут, например, такие первообразные:

   $$F_1(x)=\tg x,\qquad F_2(x)=\tg x+1.$$

3. $$f(x)=\sin^2 \frac{x}{2}-\cos^2 \frac{x}{2},\quad \alpha=0{,}5.$$

   Упростим выражение:

   $$\sin^2 \frac{x}{2}-\cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}-\frac{1+\cos x}{2}=-\cos x.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int (-\cos x)\,dx=-\sin x+C.$$

   Например, можно взять:

   $$F_1(x)=-\sin x,\qquad F_2(x)=-\sin x+0{,}5.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad \alpha=2.$$

   Представим функцию в виде степени:

   $$f(x)=x^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2x^{\frac12}+C=2\sqrt{x}+C.$$

   Подойдут, например, такие первообразные:

   $$F_1(x)=2\sqrt{x},\qquad F_2(x)=2\sqrt{x}+2.$$

Ответ:

а) $$F_1(x)=2x+\cos x,\; F_2(x)=2x+\cos x+4$$;
б) $$F_1(x)=\tg x,\; F_2(x)=\tg x+1$$;
в) $$F_1(x)=-\sin x,\; F_2(x)=-\sin x+0{,}5$$;
г) $$F_1(x)=2\sqrt{x},\; F_2(x)=2\sqrt{x}+2$$.