Упр.34 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 34. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_4=b_2+24,$$

$$b_2+b_3=6.$$

Составим уравнения:

$$b_1q^3-b_1q=24,$$

$$b_1q+b_1q^2=6.$$

Из первого уравнения вынесем общий множитель:

$$b_1q(q^2-1)=24,$$

$$b_1q(q-1)(q+1)=24.$$

Из второго уравнения:

$$b_1q(1+q)=6.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$6(q-1)=24,$$

$$q-1=4,$$

$$q=5.$$

Теперь найдём $$b_1$$:

$$b_1\cdot 5\cdot (1+5)=6,$$

$$30b_1=6,$$

$$b_1=0{,}2.$$

Ответ

$$b_1=0{,}2,\quad q=5.$$