Упр.337 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём первообразные для каждой функции и подберём постоянную $$C$$ по заданному значению.
$$f(x)=\frac{1}{x^2}, \quad F\!\left(\frac12\right)=-12.$$
$$f(x)=x^{-2}, \qquad F(x)=\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.$$
Подставим $$x=\frac12$$:
$$F\!\left(\frac12\right)=-\frac{1}{1/2}+C=-2+C=-12,$$
откуда $$C=-10.$$
$$F(x)=-\frac{1}{x}-10.$$
$$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}, \quad F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
$$f(x)=\sec^2 x, \qquad F(x)=\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C.$$
Подставим $$x=\frac{\pi}{4}$$:
$$F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan\frac{\pi}{4}+C=1+C=0,$$
значит, $$C=-1.$$
$$F(x)=\tan x-1.$$
$$f(x)=x^3, \quad F(-1)=2.$$
$$F(x)=\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C.$$
Подставим $$x=-1$$:
$$F(-1)=\frac{(-1)^4}{4}+C=\frac14+C=2,$$
откуда $$C=\frac74.$$
$$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac74.$$
$$f(x)=\sin x, \quad F(-\pi)=-1.$$
$$F(x)=\int \sin x\,dx=-\cos x+C.$$
Подставим $$x=-\pi$$:
$$F(-\pi)=-\cos(-\pi)+C=-\cos\pi+C=1+C=-1,$$
значит, $$C=-2.$$
$$F(x)=-\cos x-2.$$
Ответ: а) $$F(x)=-\frac{1}{x}-10$$; б) $$F(x)=\tan x-1$$; в) $$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac74$$; г) $$F(x)=-\cos x-2$$.
