Упр.332 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=x+2$$ возьмём, например, $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+8.$$

   Тогда

   $$F'(x)=\left(\frac{x^2}{2}+2x+8\right)’=x+2=f(x).$$

   Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

2. $$f(x)=\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2$$

   Раскроем квадрат:

   $$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=1-\sin x.$$

   Возьмём $$F(x)=x+\cos x+5.$$ Тогда

   $$F'(x)=(x+\cos x+5)’=1-\sin x=f(x).$$

   Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

3. $$f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

   Возьмём $$F(x)=x+11.$$ Тогда

   $$F'(x)=(x+11)’=1=f(x).$$

   Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

4. Для функции $$f(x)=3x^2+1$$ возьмём, например, $$F(x)=x^3+x+3.$$

   Тогда

   $$F'(x)=(x^3+x+3)’=3x^2+1=f(x).$$

   Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

Ответ: а) $$\frac{x^2}{2}+2x+8$$; б) $$x+\cos x+5$$; в) $$x+11$$; г) $$x^3+x+3$$.