Упр.331 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Проверим, равна ли производная функции $$F(x)$$ заданной функции $$f(x)$$ на указанном промежутке.
$$F(x)=2x+\cos \frac{x}{2}, \quad f(x)=2-\frac12 \sin \frac{x}{2}, \quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$F'(x)=2-\frac12 \sin \frac{x}{2}.$$
Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.
$$F(x)=\sqrt{4-x^2}, \quad f(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}, \quad x\in (-2;2).$$
Найдём производную:
$$F'(x)=\left(4-x^2\right)^{\frac12}{}’=\frac12\left(4-x^2\right)^{-\frac12}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}.$$
Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.
$$F(x)=\frac{1}{x^2}, \quad f(x)=14-\frac{1}{x^2}, \quad x\in (0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$F'(x)=\left(x^{-2}\right)’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$
Так как $$F'(x)\ne f(x)$$, функция $$F(x)$$ не является первообразной для функции $$f(x)$$.
$$F(x)=4x\sqrt{x}, \quad f(x)=6\sqrt{x}, \quad x\in (0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(4x\sqrt{x})’=4\left(x\cdot x^{\frac12}\right)’=4\left(x^{\frac32}\right)’=4\cdot \frac32 x^{\frac12}=6\sqrt{x}.$$
Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.
Ответ
а) да; б) да; в) нет; г) да.
