Упр.330 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Проверим, что в каждом пункте производная функции $$F(x)$$ совпадает с заданной функцией $$f(x)$$.
$$F(x)=\sin^2 x,\quad f(x)=\sin 2x,\quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(\sin^2 x)’=2\sin x\cdot(\sin x)’=2\sin x\cos x=\sin 2x.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
$$F(x)=\frac12\cos 2x,\quad f(x)=-\sin 2x,\quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$F'(x)=\left(\frac12\cos 2x\right)’=\frac12\cdot(-\sin 2x)\cdot 2=-\sin 2x.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
$$F(x)=\sin 3x,\quad f(x)=3\cos 3x,\quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$F'(x)=(\sin 3x)’=3\cos 3x.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
$$F(x)=3+\tg \frac{x}{2},\quad f(x)=\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}},\quad x\in(-\pi;\pi).$$
Найдём производную:
$$F'(x)=\left(3+\tg \frac{x}{2}\right)’=\left(\tg \frac{x}{2}\right)’=\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}\cdot \frac12=\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}}.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
Ответ: во всех пунктах функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ на указанном промежутке.
