Упр.324 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$, тогда другая сторона равна $$\sqrt{4r^2-x^2}$$, так как диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса $$r$$, равна диаметру $$2r$$.

Тогда площадь прямоугольника:

$$S(x)=x\sqrt{4r^2-x^2}, \qquad 0<x<2r.$$

Найдём производную:

$$ S'(x)=\sqrt{4r^2-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4r^2-x^2}} =\sqrt{4r^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} $$

$$ S'(x)=\frac{4r^2-2x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{2(2r^2-x^2)}{\sqrt{4r^2-x^2}}. $$

Приравняем производную к нулю:

$$2r^2-x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=2r^2 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{2}\,r.$$

Тогда вторая сторона равна

$$\sqrt{4r^2-(\sqrt{2}\,r)^2}=\sqrt{2}\,r.$$

Значит, прямоугольник с наибольшей площадью имеет равные стороны, то есть является квадратом.

Его площадь:

$$S_{\max}=(\sqrt{2}\,r)^2=2r^2.$$