Упр.324 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$, тогда другая сторона равна $$\sqrt{4r^2-x^2}$$, так как диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса $$r$$, равна диаметру $$2r$$.

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=x\sqrt{4r^2-x^2}, \qquad 0<x<2r.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\sqrt{4r^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{4r^2-2x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{2(\sqrt{2}r-x)(\sqrt{2}r+x)}{\sqrt{4r^2-x^2}}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2(\sqrt{2}r-x)(\sqrt{2}r+x)=0.$$

С учётом условия $$0<x<2r$$ получаем

$$x=\sqrt{2}r.$$

Тогда вторая сторона равна

$$\sqrt{4r^2-(\sqrt{2}r)^2}=\sqrt{2}r.$$

Значит, прямоугольник наибольшей площади — квадрат.

Его площадь:

$$S_{\max}=(\sqrt{2}r)^2=2r^2.$$

Ответ

Прямоугольник наибольшей площади — квадрат, его площадь равна $$2r^2$$.