Упр.323 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c,$$ а один из катетов — $$x.$$ Тогда второй катет равен

$$\sqrt{c^2-x^2}, \qquad x\in(0;c).$$

Площадь треугольника как функция от $$x$$:

$$S(x)=\frac12 x\sqrt{c^2-x^2}.$$

Найдём производную:

$$ S'(x)=\frac12\sqrt{c^2-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{c^2-x^2}} =\frac{c^2-2x^2}{2\sqrt{c^2-x^2}}. $$

Критические точки находим из уравнения

$$c^2-2x^2=0,$$

откуда

$$x=\frac{c}{\sqrt2}.$$

Это точка максимума, так как при $$x=\frac{c}{\sqrt2}$$ площадь принимает наибольшее значение:

$$ S_{\max}=\frac12\cdot \frac{c}{\sqrt2}\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2} =\frac12\cdot \frac{c}{\sqrt2}\cdot \frac{c}{\sqrt2} =\frac{c^2}{4}. $$

При этом второй катет тоже равен

$$\sqrt{c^2-\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{c}{\sqrt2}.$$

Значит, оба катета равны, то есть треугольник равнобедренный.

Ответ

Наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.