Упр.321 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Обозначим через $$x$$ расстояние от ближайшей к лодке точки берега $$A$$ до точки высадки $$O$$, то есть $$AO=x$$, где $$0\le x\le 5$$.

Тогда путь по воде равен

$$PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{9+x^2},$$

а путь по берегу до цели $$B$$ равен

$$OB=AB-AO=5-x.$$

Время движения пассажира:

$$t(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{4}+\frac{5-x}{5}.$$

Найдём производную:

$$t'(x)=\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}}-\frac15.$$

Приравняем её к нулю:

$$\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}}-\frac15=0,$$

$$\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}=\frac45,$$

$$25x^2=16(9+x^2),$$

$$25x^2=144+16x^2,$$

$$9x^2=144,$$

$$x^2=16,$$

$$x=4.$$

Проверим значения времени в критической точке и на концах отрезка $$[0;5]$$:

$$t(0)=\frac{\sqrt{9}}{4}+\frac{5}{5}=\frac34+1=\frac74,$$

$$t(4)=\frac{\sqrt{25}}{4}+\frac{1}{5}=\frac54+\frac15=\frac{29}{20},$$

$$t(5)=\frac{\sqrt{34}}{4}.$$

Наименьшее время получается при $$x=4$$.

Ответ

Лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии $$4$$ км от ближайшей к ней точки $$A$$ в сторону пункта $$B$$.