Упр.32 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) sin(?)+sin(?)+sin(?)=4cos(?/2)cos(?/2)cos(?/2);
б) cos^2(?)+cos^2(?)+cos^2(?)=1-2cos(?)cos(?)cos(?);
в) cos(2?)+cos(2?)+cos(2?)=-1-4cos(?)cos(?)cos(?);
г) sin^2(?)+sin^2(?)+sin^2(?)=2+2cos(?)cos(?)cos(?).

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

1. Докажем, что

   $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

   Преобразуем левую часть:
   $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\pi-(\alpha+\beta))=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta).$$

   По формулам суммы в произведение:
   $$ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, $$
   $$ \sin(\alpha+\beta)=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}. $$

   Тогда
   $$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta) =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right). $$

   Используем формулу
   $$ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}: $$
   $$ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2} =2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}. $$

   Поэтому
   $$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =4\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}. $$
   Так как $$\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi-\gamma}{2},$$ то
   $$ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\cos\frac{\gamma}{2}. $$
   Следовательно,
   $$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}. $$

2. Докажем, что

   $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1=0. $$

   Подставим $$\gamma=\alpha+\beta$$ по модулю $$\pi$$ в виде $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$$, тогда
   $$ \cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta), \qquad \cos^2\gamma=\cos^2(\alpha+\beta). $$
   Получаем
   $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)-2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta)-1=0. $$

   Используем формулы
   $$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. $$
   После преобразований левая часть сводится к тождеству $$0=0$$, значит,
   $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. $$

3. Докажем, что

   $$\cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

   По формуле $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ имеем:
   $$ \cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma =2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)-3. $$

   Подставим результат пункта 2:
   $$ 2(1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma)-3 =-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. $$

4. Докажем, что

   $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то
   $$ \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma =3-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma). $$

   Подставим формулу из пункта 2:
   $$ 3-\left(1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\right) =2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. $$

Ответ

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},$$
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$