Упр.32 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 32. Упростите выражение (a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2-(a-d)^2, если известно, что числа а, b, с, d, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

Так как числа $$a, b, c, d$$ образуют геометрическую прогрессию, то можно положить

$$b=aq,\quad c=aq^2,\quad d=aq^3.$$

Тогда

$$ \begin{aligned} S&=(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2-(a-d)^2\\ &=(a-aq^2)^2+(aq-aq^2)^2+(aq-aq^3)^2-(a-aq^3)^2\\ &=a^2(1-q^2)^2+a^2q^2(1-q)^2+a^2q^2(1-q^2)^2-a^2(1-q^3)^2. \end{aligned} $$

Вынесем общий множитель $$a^2$$:

$$ S=a^2\Bigl((1-q^2)^2+q^2(1-q)^2+q^2(1-q^2)^2-(1-q^3)^2\Bigr). $$

Раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} (1-q^2)^2&=1-2q^2+q^4,\\ q^2(1-q)^2&=q^2-2q^3+q^4,\\ q^2(1-q^2)^2&=q^2-2q^4+q^6,\\ (1-q^3)^2&=1-2q^3+q^6. \end{aligned} $$

Подставим:

$$ \begin{aligned} S&=a^2\Bigl((1-2q^2+q^4)+(q^2-2q^3+q^4)+(q^2-2q^4+q^6)-(1-2q^3+q^6)\Bigr)\\ &=a^2\bigl(1-2q^2+q^4+q^2-2q^3+q^4+q^2-2q^4+q^6-1+2q^3-q^6\bigr)\\ &=a^2\cdot 0=0. \end{aligned} $$

Ответ

$$0$$