Упр.32 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$?+?+?=?$$, причём $$?$$, $$?$$, $$?$$ положительны. Докажите тождество:

а) $$\sin(?) + \sin(?) + \sin(?) = 4\cos\left(\frac{?}{2}\right)\cos\left(\frac{?}{2}\right)\cos\left(\frac{?}{2}\right)$$;

б) $$\cos^2(?) + \cos^2(?) + \cos^2(?) = 1 — 2\cos(?)\cos(?)\cos(?)$$;

в) $$\cos(2?) + \cos(2?) + \cos(2?) = -1 — 4\cos(?)\cos(?)\cos(?)$$;

г) $$\sin^2(?) + \sin^2(?) + \sin^2(?) = 2 + 2\cos(?)\cos(?)\cos(?)$$.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ где $$\alpha,\beta,\gamma>0.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

а)

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\pi-(\alpha+\beta))$$
$$=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)$$
$$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} +2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$
$$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right).$$
По формуле суммы косинусов:
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2},$$
получаем
$$\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2} =2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}.$$
Кроме того,
$$\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=\sin\frac{\pi-\gamma}{2}=\cos\frac{\gamma}{2}.$$
Значит,
$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

б)

Рассмотрим выражение
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$
Подставим $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$$ и используем формулы
$$\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta), \qquad \cos^2\gamma=\cos^2(\alpha+\beta).$$
Тогда
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)-1-2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta).$$
Теперь
$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\beta=\frac{1+\cos2\beta}{2},$$
а также
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$
После преобразований получаем тождество
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

в)

Используем формулу
$$\cos2x=2\cos^2x-1.$$
Тогда
$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma =2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)-3.$$
Из пункта б) имеем
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$
Следовательно,
$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma =2(1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma)-3 =-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

г)

Так как $$\sin^2x=1-\cos^2x,$$ то
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma =3-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma).$$
Подставим результат пункта б):
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma =3-\left(1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\right) =2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

Ответ

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},$$
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$