Упр.319 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть сторона прямоугольного сечения равна $$x$$ см, тогда вторая сторона по теореме Пифагора выражается так:

$$(2r)^2=x^2+CD^2,$$

откуда

$$CD=\sqrt{4r^2-x^2}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=x\sqrt{4r^2-x^2}, \qquad 0<x<2r.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\sqrt{4r^2-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4r^2-x^2}} =\sqrt{4r^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S'(x)=\frac{4r^2-2x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{2(2r^2-x^2)}{\sqrt{4r^2-x^2}}.$$

Критическая точка находится из уравнения

$$2r^2-x^2=0,$$

то есть

$$x=r\sqrt{2}.$$

При этом

$$CD=\sqrt{4r^2-(r\sqrt{2})^2}=\sqrt{2r^2}=r\sqrt{2}.$$

Значит, сечение наибольшей площади — квадрат со стороной $$r\sqrt{2}$$.

При $$r=20$$ см получаем:

$$x=20\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ: $$20\sqrt{2}\text{ см}\times 20\sqrt{2}\text{ см}$$.