Упр.318 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть сторона прямоугольника, лежащая на основании треугольника, равна $$x$$ см, а высота прямоугольника — $$y$$ см.

Проведём высоту $$BD$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$. Тогда $$D$$ — середина основания, поэтому

$$DC=\frac{AC}{2}=30.$$

Из прямоугольного треугольника $$BDC$$ находим высоту треугольника:

$$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=40.$$

Треугольники $$BLM$$ и $$ABC$$ подобны, поэтому

$$\frac{LM}{AC}=\frac{BE}{BD}.$$

Так как $$LM=x$$, $$AC=60$$, а $$BE=BD-ED=40-y$$, то

$$\frac{x}{60}=\frac{40-y}{40}.$$

Отсюда

$$40x=60(40-y),$$

$$2x=120-3y,$$

$$y=\frac{120-2x}{3}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=xy=x\cdot \frac{120-2x}{3}=\frac{120x-2x^2}{3}.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\frac{120-4x}{3}.$$

Приравниваем её к нулю:

$$\frac{120-4x}{3}=0,$$

$$120-4x=0,$$

$$x=30.$$

Тогда

$$y=\frac{120-2\cdot 30}{3}=20.$$

Следовательно, прямоугольник наибольшей площади имеет стороны $$30$$ см и $$20$$ см.

Ответ

$$30\text{ см и }20\text{ см}.$$