Упр.318 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Обозначим стороны прямоугольника: $$LM=x$$, $$LK=y$$.

Проведём высоту $$BD$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$. Тогда $$D$$ — середина основания, поэтому

$$DC=\frac{AC}{2}=30.$$

Из прямоугольного треугольника $$BDC$$:

$$ BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=40. $$

Треугольники $$BLM$$ и $$BCD$$ подобны, значит

$$\frac{LM}{DC}=\frac{BE}{BD}.$$

Так как $$BE=BD-ED=40-y$$, получаем

$$\frac{x}{30}=\frac{40-y}{40}.$$

Отсюда

$$ 40x=30(40-y), $$
$$ 40x=1200-30y, $$
$$ y=40-\frac{4x}{3}. $$

Площадь прямоугольника:

$$ S(x)=xy=x\left(40-\frac{4x}{3}\right)=40x-\frac{4x^2}{3}. $$

Найдём производную:

$$ S'(x)=40-\frac{8x}{3}. $$

Приравняем её к нулю:

$$ 40-\frac{8x}{3}=0, $$
$$ \frac{8x}{3}=40, $$
$$ x=15. $$

Тогда

$$ y=40-\frac{4\cdot 15}{3}=20. $$

Проверка показывает, что это значение даёт максимум площади.

Ответ

$$15\text{ см и }20\text{ см}.$$