Упр.314 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть два слагаемых, пропорциональные числам $$1$$ и $$2$$, равны $$x$$ и $$2x$$. Тогда третье слагаемое:

$$54-x-2x=54-3x.$$

Произведение трёх слагаемых:

$$f(x)=x\cdot 2x\cdot(54-3x)=6x^2(18-x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=6(36x-3x^2)=18x(12-x).$$

Приравняем производную к нулю:

$$18x(12-x)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=12$$. Так как все слагаемые должны быть положительными, подходит только $$x=12$$.

Тогда слагаемые равны:

$$x=12,\quad 2x=24,\quad 54-3x=18.$$

Проверка:

$$12+24+18=54.$$

Ответ: $$12,\ 24,\ 18.$$