Упр.31 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(a+vb)=v((a+v(a^2-b))/2)+v((a-v(a^2-b))/2);
б) v(a-vb)=v((a+v(a^2-b))/2)-v((a-v(a^2-b))/2).

Обозначим

$$x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}, \qquad y=\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$

Тогда

$$x^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}, \qquad y^2=\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}.$$

Найдём сумму и разность:

$$x^2+y^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}=a,$$

$$x^2-y^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}-\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}=\sqrt{a^2-b}.$$

Теперь вычислим произведение:

$$4x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)^2=a^2-(a^2-b)=b,$$

значит,

$$2xy=\sqrt{b}.$$

Тогда

$$x+y=\sqrt{x^2+y^2+2xy}=\sqrt{a+\sqrt{b}},$$

то есть

$$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$

Это доказывает формулу а).

Аналогично

$$x-y=\sqrt{x^2+y^2-2xy}=\sqrt{a-\sqrt{b}},$$

следовательно,

$$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$

Это доказывает формулу б).

Ответ

$$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}},$$

$$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$