Упр.305 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=x^4-8x^2-9$$
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$
На отрезке $$[-1;1]$$ лежит только точка $$x=0$$. Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-1)=1-8-9=-16,$$
$$f(0)=-9,$$
$$f(1)=1-8-9=-16.$$
Следовательно,
$$\max_{[-1;1]} f(x)=-9,\qquad \min_{[-1;1]} f(x)=-16.$$
На отрезке $$[0;3]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=2$$. Тогда
$$f(0)=-9,\qquad f(2)=16-32-9=-25,\qquad f(3)=81-72-9=0.$$
Значит,
$$\max_{[0;3]} f(x)=0,\qquad \min_{[0;3]} f(x)=-25.$$
б) $$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}=x+\dfrac{4}{x},\qquad x\ne 0.$$
$$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}.$$
Критические точки: $$x=-2,\;2.$$
На отрезке $$[-4;-1]$$ лежит точка $$x=-2$$. Вычислим значения:
$$f(-4)=\dfrac{16+4}{-4}=-5,$$
$$f(-2)=\dfrac{4+4}{-2}=-4,$$
$$f(-1)=\dfrac{1+4}{-1}=-5.$$
Следовательно,
$$\max_{[-4;-1]} f(x)=-4,\qquad \min_{[-4;-1]} f(x)=-5.$$
На отрезке $$[1;3]$$ лежит точка $$x=2$$. Тогда
$$f(1)=\dfrac{1+4}{1}=5,$$
$$f(2)=\dfrac{4+4}{2}=4,$$
$$f(3)=\dfrac{9+4}{3}=\dfrac{13}{3}.$$
Значит,
$$\max_{[1;3]} f(x)=5,\qquad \min_{[1;3]} f(x)=4.$$
в) $$f(x)=3x^5-5x^3$$
$$f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
На отрезке $$[0;2]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=1$$. Считаем:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-5=-2,$$
$$f(2)=3\cdot 32-5\cdot 8=96-40=56.$$
Следовательно,
$$\max_{[0;2]} f(x)=56,\qquad \min_{[0;2]} f(x)=-2.$$
На отрезке $$[2;3]$$ критических точек нет. Тогда достаточно проверить концы:
$$f(2)=56,\qquad f(3)=3\cdot 243-5\cdot 27=729-135=594.$$
Значит,
$$\max_{[2;3]} f(x)=594,\qquad \min_{[2;3]} f(x)=56.$$
г) $$f(x)=\dfrac{x}{x+1},\qquad x\ne -1.$$
$$f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0.$$
Функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения.
На отрезке $$[-3;-2]$$:
$$f(-3)=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2},\qquad f(-2)=\dfrac{-2}{-1}=2.$$
Значит,
$$\max_{[-3;-2]} f(x)=2,\qquad \min_{[-3;-2]} f(x)=\dfrac{3}{2}.$$
На отрезке $$[1;5]$$:
$$f(1)=\dfrac{1}{2},\qquad f(5)=\dfrac{5}{6}.$$
Следовательно,
$$\max_{[1;5]} f(x)=\dfrac{5}{6},\qquad \min_{[1;5]} f(x)=\dfrac{1}{2}.$$
Ответ
а) на $$[-1;1]$$: $$\max=-9,\ \min=-16$$; на $$[0;3]$$: $$\max=0,\ \min=-25$$.
б) на $$[-4;-1]$$: $$\max=-4,\ \min=-5$$; на $$[1;3]$$: $$\max=5,\ \min=4$$.
в) на $$[0;2]$$: $$\max=56,\ \min=-2$$; на $$[2;3]$$: $$\max=594,\ \min=56$$.
г) на $$[-3;-2]$$: $$\max=2,\ \min=\dfrac{3}{2}$$; на $$[1;5]$$: $$\max=\dfrac{5}{6},\ \min=\dfrac{1}{2}$$.
