Упр.304 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=4x^3-3x^2-36x-10.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12x^2-6x-36=6(2x^2-x-6)=6(2x-3)(x+2).$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=\frac{3}{2}.$$
Проверим значения функции в этих точках:
$$f(-2)=4\cdot(-2)^3-3\cdot(-2)^2-36\cdot(-2)-10=46,$$
$$f\!\left(\frac{3}{2}\right)=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3-3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2-36\cdot\frac{3}{2}-10=-\frac{181}{4}.$$
Так как при $$x\to -\infty$$ имеем $$f(x)\to -\infty,$$ а при $$x\to +\infty$$ имеем $$f(x)\to +\infty,$$ и на промежутках монотонности функция меняет знак один раз, то уравнение имеет три корня.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-3x^2-x+3=(x-3)(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$x=-1,\; x=1,\; x=3.$$
Проверим значения функции в них:
$$f(-1)=-\frac{9}{4},\qquad f(1)=\frac{9}{4},\qquad f(3)=-\frac{9}{4}.$$
На промежутках монотонности функция принимает значения разных знаков, поэтому уравнение имеет четыре корня.
в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-4x^3-9.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$$
Критические точки:
$$x=0,\; x=3.$$
Проверим значения функции:
$$f(0)=-9,\qquad f(3)=81-108-9=-36.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция убывает и имеет один корень, на $$ (0;3) $$ корней нет, на $$ (3;+\infty) $$ функция возрастает и имеет один корень.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
г) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-\frac{x^3}{3}-1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-x^2=x(2-x).$$
Критические точки:
$$x=0,\; x=2.$$
Проверим значения функции:
$$f(0)=-1,\qquad f(2)=4-\frac{8}{3}-1=\frac{1}{3}.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция убывает и имеет один корень, на $$ (0;2) $$ функция возрастает и имеет один корень, на $$ (2;+\infty) $$ функция убывает и имеет один корень.
Следовательно, уравнение имеет три корня.
Ответ
а) 3; б) 4; в) 2; г) 3.
