Упр.302 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\sin^2 x+\sin x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Найдём нули функции:
$$\sin^2 x+\sin x=0$$
$$\sin x(\sin x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\sin x\cos x+\cos x=\cos x(2\sin x+1).$$
Критические точки:
$$\cos x(2\sin x+1)=0,$$
то есть
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$2\sin x+1=0 \Rightarrow \sin x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \text{ или } x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$
На промежутке $$[0;2\pi]$$ получаем точки экстремума:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{11\pi}{6}.$$
Значения функции в них:
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+1=2,$$
$$f\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac14-\frac12=-\frac14,$$
$$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=1-1=0,$$
$$f\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac14-\frac12=-\frac14.$$
Следовательно, график проходит через точки $$\left(0,0\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{2},2\right)$$, $$\left(\frac{7\pi}{6},-\frac14\right)$$, $$\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$$, $$\left(\frac{11\pi}{6},-\frac14\right)$$ и далее повторяется с периодом $$2\pi.$$
б) $$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$ Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$
Знак производной определяется числителем $$1-x^2.$$ Поэтому
$$f'(x)>0 \text{ при } |x|<1,$$
$$f'(x)=0 \text{ при } x=\pm1,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } |x|>1.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$\left(1,\infty\right),$$ возрастает на $$(-1,1).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=-1 \quad (\text{минимум}),$$
$$f(1)=1 \quad (\text{максимум}).$$
Кроме того,
$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{1+x^2}=0,$$
поэтому горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
в) $$f(x)=\cos^2 x-\cos x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$ Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Найдём нули функции:
$$\cos^2 x-\cos x=0$$
$$\cos x(\cos x-1)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\cos x\sin x+\sin x=\sin x(1-2\cos x).$$
Критические точки:
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
$$1-2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Наименьшее значение функции удобно найти по замене $$t=\cos x,\; t\in[-1,1]:$$
$$f=t^2-t=\left(t-\frac12\right)^2-\frac14.$$
Следовательно,
$$f_{\min}=-\frac14 \text{ при } \cos x=\frac12,$$
то есть при
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Максимум:
$$f_{\max}=2 \text{ при } \cos x=-1,$$
то есть при
$$x=\pi+2\pi n.$$
Нули функции: $$x=2\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
г) $$f(x)=\frac{x}{x-1}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R\setminus\{1\}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=-\frac{1}{(x-1)^2}.$$
Так как $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne1,$$ функция убывает на промежутках $$(-\infty,1)$$ и $$\left(1,\infty\right).$$
Асимптоты:
$$x=1 \text{ — вертикальная},$$
$$y=1 \text{ — горизонтальная},$$
так как
$$\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.$$
График — гипербола с ветвями, расположенными относительно асимптот $$x=1$$ и $$y=1.$$
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb R$$; нули: $$x=\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; максимум $$2$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; минимум $$-\frac14$$ при $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$ и $$x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n$$.
б) $$D(f)=\mathbb R$$; функция возрастает на $$(-1,1)$$, убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$\left(1,\infty\right)$$; минимум $$-1$$ при $$x=-1$$, максимум $$1$$ при $$x=1$$.
в) $$D(f)=\mathbb R$$; нули: $$x=2\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; минимум $$-\frac14$$ при $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; максимум $$2$$ при $$x=\pi+2\pi n$$.
г) $$D(f)=\mathbb R\setminus\{1\}$$; функция убывает на $$(-\infty,1)$$ и $$\left(1,\infty\right)$$; асимптоты: $$x=1$$ и $$y=1$$.
