Упр.300 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=\frac12x^2-\frac15x^5$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=0.$$
$$\frac12x^2-\frac15x^5=0,$$
$$x^2\left(\frac12-\frac15x^3\right)=0.$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x^3=\frac52,\quad x=\sqrt[3]{\frac52}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x-\;x^4=x(1-x^3).$$
Критические точки:
$$x(1-x^3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$
Знак производной:
при $$x<0$$ имеем $$f'(x)<0,$$ при $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty),$$ возрастает на $$[0;1].$$
Экстремумы:
$$f(0)=0$$ — точка минимума,
$$f(1)=\frac12-\frac15=\frac3{10}$$ — точка максимума.
б) $$f(x)=4x^2-x^4$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и является чётной, так как $$f(-x)=f(x).$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=0.$$
$$4x^2-x^4=0,$$
$$x^2(4-x^2)=0,$$
откуда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\pm2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=8x-4x^3=4x(2-x^2)=4x(\sqrt2-x)(\sqrt2+x).$$
Критические точки:
$$4x(2-x^2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;-\sqrt2)$$ и $$ (0;\sqrt2),$$
$$f'(x)<0$$ на $$(-\sqrt2;0)$$ и $$ (\sqrt2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[0;\sqrt2],$$ убывает на $$[-\sqrt2;0]$$ и $$[\sqrt2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-\sqrt2)=4,\qquad f(0)=0,\qquad f(\sqrt2)=-4.$$
Точка $$x=-\sqrt2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\sqrt2$$ — точка максимума.
в) $$f(x)=\frac15x^5-\frac13x^3$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и является нечётной, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=0.$$
$$\frac15x^5-\frac13x^3=0,$$
$$x^3\left(\frac15x^2-\frac13\right)=0.$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x^2=\frac53,\quad x=\pm\sqrt{\frac53}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$x^2(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (1;+\infty),$$
$$f'(x)<0$$ на $$(-1;0)$$ и $$ (0;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1].$$
Экстремумы:
$$f(-1)=\frac15-\frac13=-\frac2{15},\qquad f(1)=\frac15-\frac13=-\frac2{15}.$$
Точка $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
г) $$f(x)=5x^3-3x^5$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и является нечётной, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=0.$$
$$5x^3-3x^5=0,$$
$$x^3(5-3x^2)=0.$$
Отсюда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x^2=\frac53,\quad x=\pm\sqrt{\frac53}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=15x^2-15x^4=15x^2(1-x)(1+x).$$
Критические точки:
$$15x^2(1-x)(1+x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm1.$$
Знак производной:
$$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (1;+\infty),$$
$$f'(x)>0$$ на $$(-1;0)$$ и $$ (0;1).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;1].$$
Экстремумы:
$$f(-1)=-5+3=-2,\qquad f(1)=5-3=2.$$
Точка $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb R,$$ нули функции: $$x=0,\; x=\sqrt[3]{\frac52};$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty),$$ возрастает на $$[0;1];$$ минимум $$f(0)=0,$$ максимум $$f(1)=\frac3{10}.$$
б) $$D(f)=\mathbb R,$$ функция чётная; нули: $$x=-2,0,2;$$ возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[0;\sqrt2],$$ убывает на $$[-\sqrt2;0]$$ и $$[\sqrt2;+\infty);$$ максимумы $$f(\pm\sqrt2)=4,$$ минимум $$f(0)=0.$$
в) $$D(f)=\mathbb R,$$ функция нечётная; нули: $$x=0,\; x=\pm\sqrt{\frac53};$$ возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1];$$ максимум $$f(-1)=-\frac2{15},$$ минимум $$f(1)=-\frac2{15}.$$
г) $$D(f)=\mathbb R,$$ функция нечётная; нули: $$x=0,\; x=\pm\sqrt{\frac53};$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;1];$$ минимум $$f(-1)=-2,$$ максимум $$f(1)=2.$$
