Упр.3 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. К числу $$523$$ допишите две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на: а) $$3$$ и $$5$$; б) $$8$$ и $$9$$.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — цифры числа, где $$a$$ — десятки, $$b$$ — единицы.

а)

Число имеет вид $$523ab$$.

Чтобы оно делилось на $$5$$, последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$. Значит, $$b=0$$ или $$b=5$$.

Чтобы число делилось на $$3$$, сумма его цифр должна делиться на $$3$$:

$$5+2+3+a+b=10+a+b.$$

Рассмотрим оба случая.

• Если $$b=0$$, то $$10+a$$ делится на $$3$$, значит $$a=2,5,8$$.
• Если $$b=5$$, то $$15+a$$ делится на $$3$$, значит $$a=0,3,6,9$$.

Получаем числа:

$$52320,\ 52350,\ 52380,\ 52305,\ 52335,\ 52365,\ 52395.$$

б)

Число $$523ab$$ должно делиться на $$8$$ и на $$9$$.

Так как $$\operatorname{НОК}(8,9)=72$$, достаточно, чтобы число делилось на $$72$$.

Проверим последние три цифры числа: $$3ab$$. Нужно, чтобы число $$3ab$$ делилось на $$8$$, а сумма цифр всего числа делилась на $$9$$.

Из делимости на $$8$$ получаем, что число $$3ab$$ должно быть кратно $$8$$. Подходит только вариант $$344$$, так как

$$344:8=43.$$

Проверим делимость на $$9$$:

$$5+2+3+4+4=18,$$

а $$18$$ делится на $$9$$.

Следовательно, искомое число:

$$52344.$$

Ответ: а) $$52320,\ 52350,\ 52380,\ 52305,\ 52335,\ 52365,\ 52395$$; б) $$52344$$.