Упр.3 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 3. Докажите, что: а) наименьший (отличный от 1) делитель составного числа N не превосходит vN; б) число N имеет нечетное число делителей тогда и только тогда, когда N — точный квадрат.

а) Пусть $$d_1$$ — наименьший делитель числа $$N$$, отличный от $$1$$. Тогда существует делитель $$d_2$$ такой, что

$$d_1 \cdot d_2 = N, \qquad d_2 = \frac{N}{d_1}.$$

Так как $$d_1$$ — наименьший делитель, отличный от $$1$$, то $$d_1 \le d_2$$. Следовательно,

$$d_1^2 \le d_1 d_2 = N,$$

откуда

$$d_1 \le \sqrt{N}.$$

Значит, наименьший отличный от $$1$$ делитель составного числа $$N$$ не превосходит $$\sqrt{N}$$.

б) Пусть число $$N$$ имеет делители $$d_1$$ и $$d_2$$, причём

$$d_1 \cdot d_2 = N.$$

Если $$d_1 \ne d_2$$, то делители можно разбить на пары различных чисел, и общее число делителей будет чётным.

Нечётное число делителей возможно только тогда, когда одна из пар совпадает, то есть

$$d_1 = d_2.$$

Тогда

$$d_1^2 = N,$$

то есть $$N$$ — точный квадрат.

Обратно, если $$N = m^2$$, то делитель $$m$$ образует пару сам с собой, а все остальные делители разбиваются на пары $$d$$ и $$\frac{N}{d}$$. Поэтому число делителей у $$N$$ нечётно.

Ответ

а) $$d_1 \le \sqrt{N}$$; б) число $$N$$ имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда $$N$$ — точный квадрат.