Упр.3 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}, \quad a>0,\; m\in \mathbb{Z},\; n\in \mathbb{N},\; n>1.$$

Основные свойства степеней с рациональным показателем:

1. $$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$$
2. $$a^r:a^s=a^{r-s}$$
3. $$\left(a^r\right)^s=a^{rs}$$
4. $$\left(ab\right)^r=a^r\cdot b^r$$
5. $$\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}$$

$$\left(\left(\frac{125}{8}\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{125}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{5}.$$

$$64^{\frac{1}{5}}:2^{-\frac{1}{5}}\cdot \left(2^{\frac{1}{10}}\right)^6=2^{\frac{6}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5}}=2^{\frac{10}{5}}=4.$$

$$16^{-\frac{1}{4}}=\left(2^4\right)^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2}.$$

$$\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{3^4}{5^4}\right)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}.$$

Сравним числа:

1. $$16^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{16}=2^{\frac{4}{3}}, \qquad 2^{\frac{5}{4}}.$$
   Так как $$\frac{5}{4}>\frac{4}{3}$$ неверно, а на самом деле $$\frac{5}{4}<\frac{4}{3},$$ то больше $$2^{\frac{4}{3}}.$$
2. $$3^{-\frac{2}{3}} \text{ и } 9^{-\frac{3}{4}}=3^{-\frac{3}{2}}.$$
   Поскольку $$-\frac{2}{3}>-\frac{3}{2},$$ то больше $$3^{-\frac{2}{3}}.$$
3. $$0{,}3^{\frac{4}{7}} \text{ и } 0{,}3^{-\frac{4}{7}}.$$
   Так как $$0<0{,}3<1,$$ то при большем показателе значение меньше, значит больше $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}.$$
4. $$5^{-\frac{2}{3}} \text{ и } 5^{-0{,}6}.$$
   Так как $$-\frac{2}{3}<-0{,}6,$$ а основание $$5>1,$$ то больше $$5^{-0{,}6}.$$

Ответ: 1) $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$, свойства перечислены выше; 2) а) $$\frac{2}{5}$$, б) $$4$$, в) $$\frac{1}{2}$$, г) $$\frac{3}{5}$$; 3) а) $$2^{\frac{4}{3}}$$, б) $$3^{-\frac{2}{3}}$$, в) $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}$$, г) $$5^{-0{,}6}$$.