Упр.297 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=-x^3+3x-2$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Найдём точки пересечения с осями координат:
с осью $$Oy$$:
$$f(0)=-2$$
с осью $$Ox$$:
$$ -x^3+3x-2=0 \\ x^3-3x+2=0 \\ (x-1)^2(x+2)=0 $$
Отсюда $$x=-2,\; x=1$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=1$$.
Знак производной:
$$f'(x)>0$$ при $$-1<x<1$$,
$$f'(x)<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1$$.
Значит, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;\infty)$$.
Экстремумы:
$$ f(-1)=-(-1)^3+3\cdot(-1)-2=-4 $$
— точка минимума;
$$ f(1)=-1+3-2=0 $$
— точка максимума.
б) $$f(x)=x^4-2x^2-3$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Точки пересечения с осями координат:
с осью $$Oy$$:
$$f(0)=-3$$
с осью $$Ox$$:
$$ x^4-2x^2-3=0 \\ (x^2-3)(x^2+1)=0 $$
Отсюда $$x=\pm\sqrt3$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.
Знак производной:
$$f'(x)>0$$ на $$(-1;0)$$ и $$ (1;\infty)$$,
$$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (0;1)$$.
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$.
Экстремумы:
$$ f(-1)=1-2-3=-4 $$
— точка минимума;
$$ f(0)=-3 $$
— точка максимума;
$$ f(1)=1-2-3=-4 $$
— точка минимума.
в) $$f(x)=x^3+3x+2$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Точки пересечения с осями координат:
с осью $$Oy$$:
$$f(0)=2$$
с осью $$Ox$$:
$$ x^3+3x+2=0 $$
Рациональных корней нет; для построения графика достаточно отметить точку $$ (0;2) $$.
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0$$
для всех $$x\in\mathbb R$$.
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой $$(-\infty;\infty)$$.
г) $$f(x)=3x^2-x^3$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Точки пересечения с осями координат:
с осью $$Oy$$:
$$f(0)=0$$
с осью $$Ox$$:
$$ 3x^2-x^3=0 \\ x^2(3-x)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ и $$x=3$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$$
Критические точки: $$x=0,\;2$$.
Знак производной:
$$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$x>2$$,
$$f'(x)>0$$ при $$0<x<2$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;\infty)$$, возрастает на $$[0;2]$$.
Экстремумы:
$$ f(0)=0 $$
— точка минимума;
$$ f(2)=3\cdot 2^2-2^3=4 $$
— точка максимума.
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb R$$; пересечения: $$Oy:(0;-2)$$, $$Ox:(-2;0),\ (1;0)$$; возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;\infty)$$; минимум $$f(-1)=-4$$, максимум $$f(1)=0$$.
б) $$D(f)=\mathbb R$$; пересечения: $$Oy:(0;-3)$$, $$Ox:(-\sqrt3;0),\ (\sqrt3;0)$$; возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$; минимумы $$f(-1)=f(1)=-4$$, максимум $$f(0)=-3$$.
в) $$D(f)=\mathbb R$$; $$f(0)=2$$; функция возрастает на $$(-\infty;\infty)$$.
г) $$D(f)=\mathbb R$$; пересечения: $$Oy:(0;0)$$, $$Ox:(0;0),\ (3;0)$$; убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;\infty)$$, возрастает на $$[0;2]$$; минимум $$f(0)=0$$, максимум $$f(2)=4$$.
