Упр.295 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=\frac12x^4-8x^2$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x^3-16x=2x(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2).$$
Критические точки: $$x=-2\sqrt2,\;0,\;2\sqrt2.$$
Знак производной:
$$(-\infty,-2\sqrt2)\;-\,,\quad (-2\sqrt2,0)\;+\,,\quad (0,2\sqrt2)\;-\,,\quad (2\sqrt2,\infty)\;+. $$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty,-2\sqrt2]$$ и $$[0,2\sqrt2],$$ возрастает на $$[-2\sqrt2,0]$$ и $$[2\sqrt2,\infty).$$
Точки экстремума:
$$x=\pm 2\sqrt2 \text{ — точки минимума},\qquad x=0 \text{ — точка максимума}.$$
Значения функции:
$$f(0)=0,\qquad f(\pm 2\sqrt2)=\frac12\cdot 64-8\cdot 8=-32.$$
Для построения графика: функция чётная, проходит через точку $$ (0,0) $$, пересекает ось $$Ox$$ при $$x=0$$ и $$x=\pm 4.$$
б) $$f(x)=\frac{3x}{1+x^2}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{3(1+x^2)-3x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{3(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$
Критические точки: $$x=-1,\;1.$$
Так как $$ (1+x^2)^2>0 $$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$1-x^2.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1]$$ и $$[1,\infty),$$ возрастает на $$[-1,1].$$
Точки экстремума:
$$x=-1 \text{ — точка минимума},\qquad x=1 \text{ — точка максимума}.$$
Значения функции:
$$f(-1)=-\frac32,\qquad f(1)=\frac32.$$
Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.
в) $$f(x)=2x-\frac16x^3$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2-\frac12x^2=-\frac12(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;2.$$
Знак производной:
$$(-\infty,-2)\;-\,,\quad (-2,2)\;+\,,\quad (2,\infty)\;-. $$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty,-2]$$ и $$[2,\infty),$$ возрастает на $$[-2,2].$$
Точки экстремума:
$$x=-2 \text{ — точка минимума},\qquad x=2 \text{ — точка максимума}.$$
Значения функции:
$$f(-2)=-\frac83,\qquad f(2)=\frac83.$$
Нули функции:
$$2x-\frac16x^3=0 \;\Rightarrow\; x\left(2-\frac16x^2\right)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm 2\sqrt3.$$
г) $$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb R\setminus\{1\}.$$
Запишем функцию в удобном виде:
$$f(x)=\frac{(x-1)^2+1}{x-1}=x-1+\frac1{x-1}.$$
Тогда
$$f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$
Критические точки: $$x=0,\;2,$$ точка разрыва: $$x=1.$$
Так как $$ (x-1)^2>0 $$ при $$x\ne 1,$$ знак производной определяется выражением $$x(x-2).$$
Следовательно, функция убывает на $$[0,1)$$ и $$ (1,2],$$ возрастает на $$(-\infty,0]$$ и $$[2,\infty).$$
Точки экстремума:
$$x=0 \text{ — точка максимума},\qquad x=2 \text{ — точка минимума}.$$
Значения функции:
$$f(0)=-2,\qquad f(2)=2.$$
Вертикальная асимптота: $$x=1.$$
Наклонная асимптота:
$$y=x-1.$$
Ответ
а) убывает на $$(-\infty,-2\sqrt2]$$ и $$[0,2\sqrt2],$$ возрастает на $$[-2\sqrt2,0]$$ и $$[2\sqrt2,\infty);$$
минимумы при $$x=\pm 2\sqrt2,$$ максимум при $$x=0.$$
б) убывает на $$(-\infty,-1]$$ и $$[1,\infty),$$ возрастает на $$[-1,1];$$ минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
в) убывает на $$(-\infty,-2]$$ и $$[2,\infty),$$ возрастает на $$[-2,2];$$ минимум при $$x=-2,$$ максимум при $$x=2.$$
г) убывает на $$[0,1)$$ и $$ (1,2],$$ возрастает на $$(-\infty,0]$$ и $$[2,\infty);$$ максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=2;$$ асимптоты $$x=1$$ и $$y=x-1.$$
