Упр.295 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
a) $$f(x)=\frac12x^4-8x^2$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=2x^3-16x=2x(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2).$$
Критические точки: $$x=-2\sqrt2,\;0,\;2\sqrt2.$$
Знак производной:
$$(-\infty;\,-2\sqrt2]\;-\;,\qquad [-2\sqrt2;\,0]\;+\;,\qquad [0;\,2\sqrt2]\;-\;,\qquad [2\sqrt2;\,+\infty)\;+.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\,-2\sqrt2]$$ и $$[0;\,2\sqrt2]$$, возрастает на $$[-2\sqrt2;\,0]$$ и $$[2\sqrt2;\,+\infty).$$
Точки экстремума:
$$x=\pm 2\sqrt2$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
Значения функции в этих точках:
$$f(0)=0,\qquad f(\pm 2\sqrt2)=\frac12\cdot 64-8\cdot 8=-32.$$
Для построения графика найдём нули функции:
$$\frac12x^4-8x^2=\frac12x^2(x^2-16)=0,$$
откуда $$x=0,\;x=\pm 4.$$
График чётный, так как $$f(-x)=f(x)$$.
б) $$f(x)=\frac{3x}{1+x^2}$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{3(1+x^2)-3x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{3(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$
Критические точки: $$x=-1,\;1.$$
Так как $$\left(1+x^2\right)^2>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется числителем $$1-x^2$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и $$[1;\,+\infty)$$, возрастает на $$[-1;\,1].$$
Точки экстремума:
$$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
Значения функции:
$$f(-1)=-\frac32,\qquad f(1)=\frac32.$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
в) $$f(x)=2x-\frac16x^3$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=2-\frac12x^2=-\frac12(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;2.$$
Знак производной:
$$(-\infty;\,-2]\;-\;,\qquad [-2;\,2]\;+\;,\qquad [2;\,+\infty)\;-.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;\,-2]$$ и $$[2;\,+\infty)$$, возрастает на $$[-2;\,2].$$
Точки экстремума:
$$x=-2$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума.
Значения функции:
$$f(-2)=-\frac83,\qquad f(2)=\frac83.$$
Нули функции:
$$2x-\frac16x^3=0 \;\Rightarrow\; x\left(2-\frac16x^2\right)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\;x=\pm 2\sqrt3.$$
г) $$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne 1.$$ Следовательно, $$x=1$$ — вертикальная асимптота.
Преобразуем функцию:
$$f(x)=\frac{(x-1)^2+1}{x-1}=x-1+\frac1{x-1}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$
Критические точки: $$x=0,\;x=2.$$
Так как $$\left(x-1\right)^2>0$$ при $$x\ne 1$$, знак производной определяется числителем $$x(x-2)$$.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;\,0]$$ и $$[2;\,+\infty)$$, убывает на $$[0;\,1)$$ и $$(1;\,2].$$
Точки экстремума:
$$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
Значения функции:
$$f(0)=-2,\qquad f(2)=2.$$
Нулей у функции нет, так как уравнение $$x^2-2x+2=0$$ не имеет действительных корней.
Наклонная асимптота: $$y=x-1.$$
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;\,-2\sqrt2]$$ и $$[0;\,2\sqrt2]$$, возрастает на $$[-2\sqrt2;\,0]$$ и $$[2\sqrt2;\,+\infty)$$; минимум при $$x=\pm 2\sqrt2$$, максимум при $$x=0$$.
б) убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и $$[1;\,+\infty)$$, возрастает на $$[-1;\,1]$$; минимум при $$x=-1$$, максимум при $$x=1$$.
в) убывает на $$(-\infty;\,-2]$$ и $$[2;\,+\infty)$$, возрастает на $$[-2;\,2]$$; минимум при $$x=-2$$, максимум при $$x=2$$.
г) убывает на $$[0;\,1)$$ и $$(1;\,2]$$, возрастает на $$(-\infty;\,0]$$ и $$[2;\,+\infty)$$; максимум при $$x=0$$, минимум при $$x=2$$.
