Упр.292 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=\sin^2 x-\cos x.$$

   Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1).$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$\sin x(2\cos x+1)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

   Получаем:

   $$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$

   $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2. б) $$f(x)=2x+\frac{8}{x^2}.$$

   Область определения:

   $$x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2-\frac{16}{x^3}=\frac{2(x^3-8)}{x^3}.$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$\frac{2(x^3-8)}{x^3}=0 \Rightarrow x^3-8=0 \Rightarrow x=2.$$

   Точка $$x=0$$ не входит в область определения, поэтому критической не является.

3. в) $$f(x)=10\cos x+\sin 2x-6x.$$

   Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-10\sin x+2\cos 2x-6.$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$-10\sin x+2\cos 2x-6=0.$$

   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

   $$-10\sin x+2(1-2\sin^2 x)-6=0,$$

   $$2\sin^2 x+5\sin x+2=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$\sin x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$f(x)=x^3-4x+8.$$

   Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2-4.$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$3x^2-4=0,$$

   $$x^2=\frac{4}{3},$$

   $$x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; n,k\in \mathbb{Z};$$
б) $$x=2;$$
в) $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z};$$
г) $$x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$