Упр.292 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём критические точки, то есть точки, в которых $$f'(x)=0$$ или производная не существует.
$$f(x)=\sin^2 x-\cos x$$
Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(2\cos x+1).$$
Приравняем производную к нулю:
$$\sin x(2\cos x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$
Получаем:
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$
или
$$\cos x=-\frac12,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
$$f(x)=2x+\frac{8}{x^2}$$
Область определения: $$x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2-\frac{16}{x^3}=\frac{2(x^3-8)}{x^3}.$$
Приравняем производную к нулю:
$$\frac{2(x^3-8)}{x^3}=0 \quad \Rightarrow \quad x^3-8=0 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$
Точка $$x=0$$ не входит в область определения, значит критической не является.
$$f(x)=10\cos x+\sin 2x-6x$$
Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=-10\sin x+2\cos 2x-6.$$
Приравняем её к нулю:
$$-10\sin x+2\cos 2x-6=0.$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$-10\sin x+2(1-2\sin^2 x)-6=0,$$
$$2\sin^2 x+5\sin x+2=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-2.$$
Значение $$\sin x=-2$$ невозможно, поэтому
$$\sin x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
$$f(x)=x^3-4x+8$$
Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-4.$$
Приравняем производную к нулю:
$$3x^2-4=0,$$
$$x^2=\frac{4}{3},$$
$$x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Ответ:
а) $$x=\pi n,\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; n,k\in \mathbb{Z}$$;
б) $$x=2$$;
в) $$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; k\in \mathbb{Z}$$;
г) $$x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
