Упр.286 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна $$\rho g V h$$, где $$\rho$$ — плотность воды, $$g$$ — ускорение свободного падения, $$h$$ — глубина погружения центра масс части тела, находящейся в воде, $$V$$ — её объём.

Сила выталкивания равна весу вытесненной воды:

$$F=\rho gV,$$

где $$\rho$$ — плотность воды, $$g$$ — ускорение свободного падения, $$V$$ — объём погружённой части тела.

Пусть $$h$$ — глубина погружения центра масс этой части тела. Тогда при постепенном погружении объём погружённой части можно считать пропорциональным глубине:

$$V(x)=kx,$$

где $$k=\dfrac{V}{h}.$$

Работа против силы выталкивания равна

$$A=\int_0^h \rho g\,V(x)\,dx=\int_0^h \rho gkx\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$A=\rho gk\int_0^h x\,dx =\rho gk\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^h =\rho gk\frac{h^2}{2}.$$

Подставим $$k=\dfrac{V}{h}$$:

$$A=\rho g\cdot \frac{V}{h}\cdot \frac{h^2}{2} =\frac{\rho gVh}{2}.$$

Следовательно, работа, совершаемая против силы выталкивания воды при погружении однородного тела, равна $$\dfrac{\rho gVh}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\rho gVh}{2}$$