Упр.285 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=3x+\cos 2x$$

Функция определена на $$\mathbb{R}$$. Найдём производную:

$$f'(x)=(3x+\cos 2x)’=3-2\sin 2x.$$

Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

$$-2\le -2\sin 2x\le 2,$$

следовательно,

$$1\le 3-2\sin 2x\le 5.$$

Значит, $$f'(x)>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, поэтому функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

б) $$g(x)=-\dfrac{x^3}{3}-x$$

Функция определена на $$\mathbb{R}$$. Найдём производную:

$$g'(x)=\left(-\dfrac{x^3}{3}-x\right)’=-x^2-1=-(x^2+1).$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, то $$g'(x)<0$$ при всех $$x$$. Значит, функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

в) $$f(x)=x^7+2x^5+3$$

Функция определена на $$\mathbb{R}$$. Найдём производную:

$$f'(x)=(x^7+2x^5+3)’=7x^6+10x^4.$$

Поскольку $$7x^6\ge 0$$ и $$10x^4\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, то $$f'(x)\ge 0$$, причём $$f'(x)>0$$ при $$x\ne 0$$. Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

г) $$g(x)=-4x+\sin 3x$$

Функция определена на $$\mathbb{R}$$. Найдём производную:

$$g'(x)=(-4x+\sin 3x)’=-4+3\cos 3x.$$

Так как $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то

$$-3\le 3\cos 3x\le 3,$$

откуда

$$-7\le -4+3\cos 3x\le -1.$$

Значит, $$g'(x)<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, поэтому функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает.