Упр.285 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите центр масс однородного полушара радиуса $$R$$.

Рассмотрим полушар радиуса $$R$$ как тело вращения. Его можно представить в виде суммы тонких круговых слоёв толщины $$dr$$.

Площадь сечения на расстоянии $$r$$ от оси равна

$$S=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Масса полушара при единичной плотности:

$$M=\frac{2\pi R^3}{3}.$$

Из симметрии центр масс лежит на оси полушара, поэтому достаточно найти его ординату $$z’$$:

$$z’=\frac{1}{M}\int_0^R r\cdot \pi\left(R^2-r^2\right)\,dr.$$

Вычислим интеграл:

$$z’=\frac{1}{M}\int_0^R \left(\pi R^2r-\pi r^3\right)\,dr =\frac{1}{M}\left(\frac{\pi R^2r^2}{2}-\frac{\pi r^4}{4}\right)\Bigg|_0^R.$$

Тогда

$$z’=\frac{1}{M}\left(\frac{\pi R^4}{2}-\frac{\pi R^4}{4}\right) =\frac{1}{M}\cdot \frac{\pi R^4}{4}.$$

Подставим $$M=\frac{2\pi R^3}{3}$$:

$$z’=\frac{\pi R^4}{4}\cdot \frac{3}{2\pi R^3} =\frac{3R}{8}.$$

Следовательно, центр масс полушара находится на оси симметрии на расстоянии $$\frac{3R}{8}$$ от плоскости основания.

Ответ: $$\left(0;\,0;\,\frac{3R}{8}\right).$$